Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
124Розділ IX. Слабо збіжні послідовності елементів Як видно з доведення для ІДО (р > 1), теорема вірна взагалі для кожного простору Е типу (В), що має таку властивість: який би не був лінійний функціонал F (/), заданий у просторі Е лінійних функціоналів, заданих в Е, існує елемент х ? Е такий, що F (/) = / (х) для всіх / ? Е. § б* Теорема про слабу збіжність елементів. Теорема 3. Яшо дано лінійну операцію у — U (х), означену в просторі Е типу (Б), протиобласть якої міститься в просторі Ех також типу (В) ь ящо послідовність {#п} збігається слабо до елемента хо?Еь то послідовність {?/ (хп)} збігається слабо до U (х0) в Ev Доведення. Якщо Y є довільний лінійний функціонал, означений в Е1: їо функціонал Y [U (х)] = X (х), означений в Е, є, очевидно, адитивний і неперервний, бо маємо: Отже, із слабої збіжності послідовності {#п} до xQ випливає lim Y [U (хп)] = Ит X (хп) — X (х0) = Y [U (хо)]у тобто {U (хп)} збігається слабо до U (х0), що й треба було довести. Зауваження. Коли до умов додамо, що операція у = (7 (х) є цілком неперервна, то із слабої збіжності послідовності {#п} до х0 випливає збіжність {U (хп)} до U (х0) за нормою, тобто рівність lim | U(xn) — U(xQ)\=:0. Справді, якщо б так не було, то існували б таке число є > 0 і така частинна послідовність {#п*}, що | и{хщ) — U(xQ)\>e для і = 1, 2, ..., (38) ідовність (?7 (хПі)} збігалася б тоді за нормою до деа г/ ? Ev Але з другого боку, із слабої збіжності посліпричому послідовність якого елемента / ? Ev дру у, довності {хщ} до х0 на основі теореми 3 випливає слаба збіжність [U (хщ)} до U (х0); отже, було б ^ = С7(^0), що на підставі є неможливе. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)