Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
РОЗДІЛ X. ЛІНІЙНІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ. § 1. Співвідношення між лінійними і спряженими з ними операціями1. В цьому розділі займемося рівняннями вигляду у — U (х), де U — така лінійна операція, що її область елементів х є простір Е типу (В), а протиобласть Ех міститься в просторі Е'} також типу (В). Функціонали, означені в просторі Е, позначатимемо через X, а означені в просторі Ш — через Y. Якщо перетворення простору Е на Elt визначене з допомогою операції у = U (х), є взаємно однозначне, то обернена операція х — U'1 (у) є очевидно адитивна. Легко бачити, що для існування оберненої операції необхідно і достатньо, щоб з U (х) — 0 випливало х = 0. Якщо обернена операція є неперервна, то існує таке число 1/>0, ЩО Ц 2 Ц <Jf-||y||. Навпаки, якщо існує таке число т > 0, що m.\\x\\<\\U(x)\\, то існує обернена неперервна операція. Якщо обернена операція є неперервна, то протиобласть Е± є замкнена. Справді, покладаючи lim yn — у, де yn—U (#n), маємо: lim || хР — xq: |j < Ж • lim || ур — уч\\= 0, звідки, покладаючи Km хп — x* одернсуємо U (х) = у. П->00 Якщо функціонал YQ є трансфінітною границею послідовності {Y(} типу ^, то спряжений функціонал Хо = U (Yo) є трансфінітною границею послідовності {%е}= \ U (Y^)\ типу &. 1 Теореми § 1 цього розділу довів у своїй замітці С. Б а н а х, 1. с, Stud- Math. І (1929), ст. 234-238. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)