Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
126 Розділ X. Лінійні функціональні рівняння Справді, для кожного х маємо рівність: Х^ (х) = Y% \U (х)], де Лема. Якщо спряжена операція X = U (Y) допускає обернену неперервну операцію, а Гхв довільна векторіальна і регулярно замкнена множина елементів Y, то відповідна множина Г— U (7\) є також регулярно замкнена. Доведення. За умовою існує таке число М > 0, що \\U(Y)\\>M-\\Y\\ для всіх Y. Отже, якщо Х$ ? ї7(/\) і || Х^ \\ < С для всіх 1 < \ < &, де Х$ = U (Yt), то також Т^?Гг і \\ Y^\\ < TfC для всіх 1 < < ^ < &. Зважаючи на те, що множина Гг є за умовою регулярно замкнена, то існує, на підставі леми 3 (розд. VIII, § 3), ст. 106, трансфі- нітна границя У0?Гг послідовності {Y$y Очевидно, фушщіонал Хо = U (Yo) міститься в U (Гг) і є трансфінітною границею послідовності {Х$у Таким чином множина Г = U (Гг) є трансфінітно замкнена, отже, на підставі тієї самої леми вона регулярно замкнена, що й треба було довести. Теорема 1. Якщо спряжена операція X = U(Y) допускає обернену неперервну операцію, то рівняння у = U (х) для кожного у має розв'язок. Доведення. Нехай yQ?Ef — довільно заданий елемент. Позначимо через Гг множину всіх таких лінійних функціоналів F, що Y(y0)=0, а через Г множину всіх лінійних функціоналів X = U (Y), де Множина /\ є регулярно замкнена. З попередньої леми випливає, що множина Г є також регулярно замкнена. З другого боку, для такого довільного лінійного функціонала Yo, що Y0(y0) = l, функціонал X0 = U(Y0) не належить до Г. Отже, на основі теореми 1 (розд. VIII, § 3), ст. 106, існує такий елемент xQ ? Е, що Хо (х0) = 1 і X (х0) = 0 для всіх X G Г. (1) Докладаючи Vi = U(x0), (2) маємо: Го {уг) — Хо (х0) і Y («/-,) = X (х0), звідли на підставі (1), 70 (Уі) = 1 і 7 (Уі) == 0 для всіх Y Є Гг (3) Значить, для довільного лінійного функціонала 7 функціонал 7 =Y — [Y (у0)] • Yo належить, очевидно, до Гх, бо Y (у0) = Y (у0) — — [У (Уо)]' ^о ІУо) — ®- Тим самим на основі (3) маємо: Y {у-^ = = У (Уі) - [У (УоИ • ^о (Уі) = Y (Уі) - У(Уо) = 0; отже, 7 (у, -~уо) = О |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)