Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 1. Співвідношення між лінійними і спряженими з ними операціями 127 для всіх Y. Звідси випливає рівність ух — уо = О, і, тим самим на підставі (2) для довільного наперед даного елемента уо?.Е'9 маємо розв'язок уо = и (х0), що й треба було довести. І навпаки: Теорема 2. Якщо рівняння X = U(Y) для кожного X має розв'язок, то 1° операція у = 17 (х) має обернену неперервну операцію, 2° протиобласть операції U (х) є множиною елементів у, що задовольняють умову: = 0, якщо Ї7(Г) = Є. (4) Доведення. 1°. Коли б операція у = U (х) не мала оберненої неперервної операції, то існувала б така послідовність елементів {хп}9 які належать до Е, що |||| = оо (5) П->-00 І Km || уп Ц =.0, де уп = U(xn). П>00 Зважаючи на те, що за умовою рівняння X — U(Y) для довільного X має розв'язок, то для довільного функціонала X, означеного в Е, маємо limX (хп) = Km Y (уп) = 0; звідси на підставі теореми б (розд. V, § 1), ст. 69, виходить, що послідовність норм {||яп||} б обмежена в протилежність до (5). 2°. Припустимо, що для певного елемента у0 ? Ш з U(Y) = Є випливає Y (у0) = 0. (6) Зважаючи на те, що протиобласть Ег операції U (х) па основі 1° (див. цей розд., § 1, ст. 125) є замкнена, то, якщо б у0 не належало до Ег, існував би (дрв. розд. IV, § 3, ст. 48, лема) такий функціонал Yo, що Yo (Уо) = 1 (7) і Yo {у) = 0 для всіх у ?EV Покладаючи X0=7J{Y0), ми мали б, тим самим, Хо (х) = Го (у) =0, де у = U(x) ?EV звідки U(Y0) = 6; з цього на основі (6), одержуємо рівність Yo {у0) = 0, що суперечить (7). Отже, yo?Ev Навпаки, якщо U(Y)=X = b, то для всіх у?Ег маємо рівність Y{y)=X (ж) =0, що й треба було довести. Замінюючи в попередніх теоремах 1 і 2 елементи х, у, X Y, U і U відповідно через Y, X, у, х, U і U і застосовуючи в доведенні ті теореми про функціонали, які відповідають у попередньому доведенні теоремам про елементи, одержуємо такі дві теореми. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)