Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
128 Розділ X. Ліншні функціональні рівняння Теорема 3. Якщо до операції у =U(x) існує обернена неперервна операція, то рівняння X = U (Y) для кожного лінійного функціои&га X, означеного в Е, мав розв'язок. Теорема 4. Ящо рівняння у = U (х) для кожного у має розв'язок, то 1° до операції Х = U(Y) існує обернена неперервна операція, 2° її протиобласть є множина елементів X, яка для кожного х ? Е задовольняє умову X (х) = 0, ящо тільки U (х) — 0. (8) Для доведення її. 2 слід зауважити, що, на підставі 1° і леми, протиобласть операцій U (Y) є регулярно замкнена. З теорем 1—4 вппливають легко такі теореми. Теорема 5. Якщо рівняння у = U (х) для кожного у має точно один розв'язок, то рівняння Х = U (Y) для кожного X чає також точно один розв'язок, і навпаки. Теорема б. Ящо до операцій y = U(x) і X—U{Y) існують обернені неперервні операції, то для кожних у і X існують єдині такі х і Y Теорема 7* Ящо операції у = U(х) і X = U (Y) для кожних у і X мають розв^язок, то він в єдиний. Доведемо тепер такі три теореми. Теорема 8. Якщо протиобласть лінійної операції U(x) є замкнена, то протиобласть спряженої до неї операції U (Y) є Шожи- ною елементів X, що задовольняють умову (8): X (х) — С, коли U (ж) = 0. Доведення. Похідна множина Е\ протиобласті Ег(2,Ш операції U (х) утворює (як лінійна і замкнена множина) простір типу (В). Отже, позначаючи через Z довільний лінійний функціонал, означений в Е\ а через Ux (Z) лінійний функціонал X, що задовольняв рівняння Z [U (х)] = X (я?) для всіх х ? Е, легко перевірити, що протиобшсть операцій Ux (Z) і U (Y) є тотожні. Справді, для кожного лінійного функціонала Y, означеного в Е', який задовольняє умову Я (у) = 7 (у) для всіх у Є Е[, (9) маємо: Z [U (х)] = Y [U (х)] для всіх х ?Е, звідки U1(Z)=U(Y) (10) і на основі теореми 2 (розд. IV, § 2), ст. 46, на підставі оьначення функціонала Z, існує такий лінійний функціонал, означений в W, що задовольняє умову (9), а тим самим і (10), 3 цього» |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)