Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Теорія Riesz'a цілком неперервних лінійнгсх рівнянь 129 на основі теореми 4, 2°, ст. 128, випливає умова (8), якщо там покладемо Ег замість Е'. Теорема 9. Коли протиобласть лінійної операції U(Y) є замкнена, то протиобласть операції U(x) є множиною всіх тих у, що задовольняють умову (4): Y(y) = G, якщо U(Y) = 0. Доведення. Означимо функціонали Z і TJX(Z) так само, як у доведенні попередньої теореми 8. Бачимо, що з рівності ЇЇг (Z) = 0 випливає рівність Z(y)=O для всіх у?Е[; отже, маємо Z = 0. Але множини Z і X є просторами типу (Б), отже, на підставі теореми 5 (розд. III, § 3), ст. 34, до операції X = XJX{Z) існує обернена неперервна операція, а звідси на підставі теореми 1, ст. 126, виходить, що рівняння у = U(x) має розв'язок для кожного у?Е[. Тим самим протиобласть Ег = Е[ операції y = U(x) є замкнена. Зважаючи на те, що умова (4) виконується, очевидно, якщо тільки у ? Еь то залишається лише довести обернене твердження, тобто, що кожне уо?Е\ яке задовольняє умову (4), належить до Е±. Справді, тому що Е± є лінійною і замкненою множиною, то в противному випадку (див. розд.ЛУ, §3, ст. 48, лема) існував4 би такий лінійний функціонал Го, що Y0(y0) = 1 і Y0(y) = 0 для всіх у ?EV Отже, покладаючи Хо = U(Y0), ми мали б Х0(х) — Y0(y) = 0 для кожного х ?Е, звідки Хо = 0, і, тим самим, U(Y0) — 0, що суперечить умові (4), встановленій для у0. Теорема 10. Якщо протиобласть Ег лінійної операції y = U{x) є замкнена, то існує таке число т > 0, що кожному у ?Ег відповідає таке х ? Е, яке задовольняє умови Доведення. При доведенні теореми 3 (розд. III, § 3), ст. 32, ми одержали твердження (1), з якого, за умовами теореми, що її маємо довести, випливає існування для всякого є > О такого т) > 0, що кожному довільному у, яке задовольняє нерівність І у І < т], можна припорядкувати такий елемент х9 що задовольняє умови у = U(x) і х І < є. З цього легко випливає існування для кожного у такого еле- є мента х9 що для т — — виконуються умови теореми. 7] § 2. Теорія Riesz'a цілком неперервних лінійних рівнянь. Тепер будемо займатися рівняннями вигляду у = х — U(x), де U цілком неперервна лінійна операція, протиобласть якої міститься в області (в просторі Е значень х)\ 1 Теореми цього параграфа за винятком тих, в яких виступає поняття спряженої операції, довів перший раз F. Riesz (Ober lineare FunktionaU gleichungen, Acta Math. 41 (1918), ст. 71—98); G російський переклад, див, „Успехи математических наук", т. І, ст. 175—199, 9 С. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)