Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
130 Розділ X. Лінійні функціональні рівняння Лема. Якщо лінійна операція U(x) e цілком неперервна, то операція Т(х) = х— U(x) перетворює кожну обмежену і замкнену множину 6? d -S на замкнену множину. Доведення. Покладемо: хп 6# для п = 1, 2, ... і \їтТ(хп) = у0- (11) Послідовність {U(xn)}, отже, в компактною [множиною; тому існує частинна послідовність {U(xni)}, яка збігається до елемента х0 ? Е. Тому що хш = U{xm) -f Т(хш), то на підставі (11) маємо lim xm = я0 + 2/0» звідки Т(у0 -f- х0) = у0. Теорема 11. Якщо лінійна операція U(x) є цілком неперервна, то протиобласті операцій (x) = x — U{x) іТ(Х)=Х—п(Х) є замкнені. Доведення. Позначимо через G множину розв'язків рівняння Т(х) = ® і нехай уо=?® — елемент скупчення протиобласті операції Т. Отже, існує така послідовність {хп} елементів з Е, що у0 = Km Т(хп). П->-00 Коли б послідовність {|#п|} була обмежена, то елемент у0, на основі вищедоведеної леми, належав би до протиобласті. Позначимо через dn віддаль хп від множини О, тоді існує такий елемент wn 6 #> що dn < | хп — wn І < N. + —) dn. (12) Маємо ]imT(xn — wn) = yQ. (13) Коли б послідовність {\хп — wn\} була обмежена, то на основі попередньої леми доведення було б закінчене. Тому припустимо, що Нт \хп — wn\ = оо, звідки, покладаючи zn = т— ^т, на підставі (13) п-У<*> Хп — Wn маємо limT(zn) = 0 і |zn\ = 1. Отже, на основі леми можна з послі- довності {zn} вибрати таку частинну послідовність {гш}, збіжну до елемента w0, що T(w0) = 0, звідки w0 ? О. Покладаючи zn —wn = єп, одержуємо: Urn | евд 1-0, (14) але zn — wQ = wQ = tn і, тим самим, хп — wn — wQ • | xn — Xn — *Wn |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)