Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Теорія Riesz'a цілком неперервних лінійних рівнянь 131 — wn\ = єп •1 хп —wn І, звідки на основі нерівності (12) I Хщ —Wni — WQ • І Хщ—Wnt || < І Єї* І (1 Н- — ріц. (15) Значить, на підставі (14) і (15) існує таке щ, що маємо: \хПі — гощ — dn — w0 • І хт —гищ || < -^', але це неможливе, бо wni + Щ • \ хПі —гоПі |G ? G, a dru e віддаль жПі від 6?. Отже, протиобласть операції Т є замкнена. Аналогічно доведемо теорему для Т(Х). Теорема 12. Якщо лінійна операція U(x) e цілком неперервна, то кожне з рівнянь х — U (х) = 0 і Х — ЇЇ(Х) = 0 має щонайбільш скінченну кількість лінійно незалежних розв'язків. Доведення. Позначимо множину елементів, які задовольняють рівняння х = U(x), через G. Ця множина, очевидно, утворює простір типу (В). її сфера перетворюється операцією U(x) сама в себе, і тому ця сфера компактна. На основі теореми 8 (розд. V, § 3), ст. 72, в О є не більше, ніж скінченна кількість лінійно незалежних елементів. Для рівняння X — U (X) = 0 доведення аналогічне, бо множину Х-ів можна розглядати як простір типу (В). Теорема 13. Якщо для лінійної і цілком неперервної операції U(x) рівняння у = х — U(x), і вгдп. Y = X — U(X) має розвиток для всіх у, відп. Y, то рівняння х — U (х) = 0, відп. X — U (X) = 0 має точно один розв'язок, а саме х = 0 відп. X = 0. Доведення. Покладемо Т (х) = TW> {x) = x — U (х) і Т(п) {х) = Т [T<n-D (х)]. Позначимо через Еп множину всіх тих х?Е, що задовольняють рівняння Т<">(#)=0 і припустимо, що існує таке ^^0, що Jf(a;1)==0. Позначуючи через хп елемент, що задовольняє рівняння хп-і = Т (хп), маямо тим самим - Т {хх) = 0, звідки хп+1?Еп+1-Еп. (16) Множина Еп, очевидно, лінійна і замкнена; вона є справжньою підмножиною множини Еп+ь значить, на підставі леми, ст. 71, існує таїса послідовність {уп}, що задовольняє умову Уп?Еп, | Уп | = 1 І | Уп — X І > — ДЛЯ КОЖНОГО X Є-Ел-Ь (17) 9* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)