Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
132 Розділ X. Лінійні функціональні рівняння Тому що уп G $п, то за означенням Т і Еп маємо рівність Т {уп) = уп — и {уп)> звідки U (Ур) - U (yq) = yp -[yq+T (ур) -Т (yq)] = уР - ж, (18) а через те що p>q, то маємо Т^-1) (ж) =2т(р-і) ув) Отже, х ? Ер^іі звідки на підставі (17) \уР — х | > — і тим самим, на основі формули (18) | U (ур) — U (yq) \ > ^г для р > q, що є неможливе, бо послідовність {U (уп)} містить у собі частинні збіжні послідовності. Тому треба припустити, що х = 0, що й треба було довести. Для рівняння X — U (X) = 0 доведення є аналогічне, бо множину Х-ів можна розглядати як простір типу (В). Теорема 14. Лкгцо для лінійної і цілком неперервної операції U (х) рівняння х — U (х) = 0, вгдп. X — U (X) = 0, має єдиний розв'язок х — 0, відп. X = 0, то рівняння у = х — U (х), вгдп. Y = X — U (X), має розв'язок для кожного у і відп. для кожного Y. Доведення. Через те що протиобласть операції х — U [х) є, на основі теореми 11, ст. 130, замкнена, то на підставі умови, а також теореми 3, ст. 128, робимо висновок, що рівняння Y = X — U(X) має розв'язок для кожного Y, звідки, зважаючи на попередню теорему 13, єдиним розв'язком рівняння X — U(X) = Q є X = 0 і, тим самим, на основі теореми б, ст. 128, рівняння у = х — U (х) має розв'язок для кожного у. Доведення для Y — X — U (X) є симетричне. Теорема 15. Якгцо U (х) є лінійною і цілком неперервною опера- г\гєю, то рівняння x — U(x) = e гХ—ЇЇ(Х)=в мають однакову кількість лінійно незалежних розв'язківг. Доведення. Покладемо, як і раніше, T{x) = z — U(x) іТ{Х)=Х—п{Х). (19) Нехай Т (хі) = 0 для і = 1, 2, . . ., щ і Т(Хі) = 0 для і = 1, 2, . . ., v, (20) де за умовою елементи послідовності {х*}, а також функціонали послідовності {Хі) є лінійно незалежні. Через п і v позначено відповідно 1 Для деяких окремих випадків цю теорему довів F. Riesz, I. c.? Acta Math. 41 (1918), ст. 96—98 (або „Успехи мат. наук" в. І, ст. 197—199). В такому загальному вигляді, але в іншому формулюванні теорему довів Т. Н. Hilde- brandt, Vber vollstetige lineare Transformationen. Acta Math. 51 (1928) ст. 311—318, а в поданому тут вигляді її довів Ю, Шаудер, 1. с, Studia Mathematica II (1930), ст. 183—196. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)