Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
^_ § 2. Теорія Riesz'a цілком неперервнгсх лінійних рівнянь 133 найбільші можливі числа лінійно незалежних розв'язків рівнянь Позначимо через zt, де і — 1, 2, ..., v, такий довільний елемент, щоб було для Таке «ї існує, бо лінійна множина вигляду 2 ^fXj^ 2 (3/Х/ є слабо /=і /«4-і замкнена і не містить у собі Хи Аналогічно позначимо через Zi, де і = 1, 2, . . ., п, такий лінійний функціонал, що Zi{xi) = \l Дм* = ? (22) у v ч [0 для г^?« Такий функціонал Zi існує, бо ггї не належать до лінійно замкне- 1-1 П ної множини вигляду 2 &іхі + 2 /1 /ї+ Тепер припустихмо, що v > п. Нехай R{x) = U {х) + 2 ^і (х) ZiiW{x) = x — R (x). (23) г=1 Легко бачити, що так означена операція R (х) є цілком неперервна. Покажемо, що рівняння V/ (х) = 0 має точно один розв'язок, а саме х = 0. Справді, припустимо, що W {х0) = 0. Треба довести, що х0 = 0. На підставі (19) і (23): W (я0) = хо-В (х0) = Т (х0) — І Zt (x0) -Zi = e (24) і тому що на основі (20): ХіТ (х) = 0 для всіх х і і = 1, 2, . . ., v, (25) то з формул (21) і (24) виходить XtW (х0) = Zi (#0) = 0 для і = 1, 2, . . ., я, - (26) звідки jT (х0) = в; звідси згідно з (20) і на підставі означення числа п п виходить, що хо=]?<хіХі, де <*і відповідні дійсні числа. Отже, на основі (26) і (22), має?до Zt(x0) = он = 0 для всіх і = 1, 2, ..., и, звідки, нарешті, іс0 = 0. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)