Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
134 Розділ X. Лінійні функціональні рівняння Тепер на основі теореми 14, ст. 132, приходимо до висновку, що п рівняння х — R (х) = Т (х) — ^Zt (x) • zi = zn+i має розв'язок. Але на основі (21) і (25) видно, що Хп+і [х — В(х)] = 0, а з другого боку, на основі (21), що Хп+1 (zn+1) = 1. Отже, умовг: v > п є неможлива. v Припустимо тепер, що v < п. Нехай It (х) = %Zi (x) • zt, звід- і1 V ки В {X) = ?Х (zt) 'Zu Роблячи, як вище, ми довели б, що рівняння Т (X) — 2Х(zt) -Zi = Q (спряжене з рівняннямТ(х) — %Zi(x) • zi = 0) має точно один розв'язок, а саме X — @. Отже, на основі тео- v реми 14, ст, 134, рівняння Т (X) — ]? X (zt) • Zi — Zv+i повинно мати 1=1 _ розв'язок, що є, однак, неможливе, бо для всіх.Х маємо: T(X)(xv+1) = = X [Т (xv+1)] = 0, звідки, на підставі (22), Zi (xv+i) = 0 для і = 1, 2, ..., п, а з другого боку, Zv+i (av+i) = 1. Отже, умова, що v < п, веде також до суперечності. § 3. Регулярні і власні значення в лінійних рівняннях. Припустимо тепер, що операція U (х) є лінійна, а протиобласть її міститься в області Е. Тоді операція х — hU (х) є лінійна для кожного дійсного Ті, а спряжена з нею операція має вигляд X — hU (X), де через U позначено операцію, спряжену з U. Шсля цього досліджуватимемо спряжені рівняння x — hU(x) = yiX—hU (X) = Y. (27) Якщо для даного h0 перше, відп. друге, з рівнянь (27) має для кожного у, відп. для кожного Y, точно один розв'язок, то h0 називається регулярним значенням цього рівняння; в супротивному випадку Ао називається власним значенням. Множина власних значень утворює так званий спектр. Якщо х, відповідно X, задовольняє перше, відп. друге, з рівнянь х + hU (х) = 0 і X + W (X) = 0, (28) то він називається власним елементом, відповідно власним функціоналом. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)