Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
8 Вступ Послідовність функцій, яка вбігається в середньому до функції x(t)9 збігається також асимптотично до цієї функції1 і тому (§3) містить у собі частинну послідовність, що збігається майже всюди (в звичайному розумінні) до цієї ж функції. § Ь. Інтеграл StieltjesV. Нехай х (t) є неперервна функція, a a (t) функція обмеженої варіації в [а, Ь]. Коли поділимо інтервал [а, Ь] на частинні інтервали числами а = t0 < tx < t2 < • • • < tn = b і в кожному з цих частинних інтервалів виберемо будь-яке число $и то, подібно до того, як при означенні її і є тапп'ового інтеграла, зможемо утворити суму *0 — afa-i)], де ti>&i>ti-1. Можна довести, що для кожної послідовності підподілів, якщо тільки її найбільший інтервал наближається до нуля, суми 8 для всіх таких окремих послідовностей мають спільну границю; цю границю позначають через ь fx (t) da (t) а і називають інтегралом Stieltjes'a. Цей інтеграл має властивості: ь а fx (t) dai (t) = — fx (t) doL (t), a b fx (t) da (t) +fx (t) da. (t) = fx (t) da (t), aba b b b f[xx (t) + x2 (t)] da (t) =Jxx (i) da (t) +fx2 (t) da (t). Перша теорема про середнє значення виражається тут нерівністю ь fx(t)da(t} MV, де через М позначено верхню межу абсолютного значення | х (і) |, а через V повну варіацію функції a (t) в інтервалі [а, Ь]. 1 Див., наприклад, Е. W. Hobson, 1. о., vol. II, ст. 245. 2 Див., наприклад, Н. Lebesgue, I. c, chapitre XI, рос. пер., розд. XI. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)