Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
А. Інтеграл Lebesguea-Stieltjes'a Якщо функція a (t) абсолютно неперервна, то інтеграл S t і є 1 t j es' а можна виразити через інтеграл Lebesgue'a за допомогою формули: ь ь fx (t) da (t) = fx {t) a' (t) dt. a Якщо функція a (t) зростаюча (тобто завжди маємо a (tr) < a {t") для a < if < t" < b) і якщо для кожного числа s в інтервала [а (а), а (6)] приймемо ТО ОДерЖИМО: ь а(Ь) fx (t) da (t) = / x [p (5)] <fo i. (2) a a (a) Доведення. На основі означення р($) маємо: p [a («)] = ^, для a < ^ < 6. (3) Тому що за умовою функція р (5) є зростаюча і приймає всі значення з інтервала [а, 6], де, внаслідок рівності (3), а = (3 [а (а)] і Ь = р [а (6)], то ця функція неперервна. З цього виходить, що функція х [р (5)] також неперервна. Розглянемо підподіл (S) інтервала [а, 6] за допомогою чисел а = t0 < іг < • • • < < fn « 6 і позначимо a (*j) = в-f, для і = 1, 2,..., п. Маємо Ji = J х [р (в)] cfe = (»j - »(-і) х (&t)9 де ^ = р (si) і «і-і < &і < ^f. Неважко бачити, що р (*f-i) < p (sj) *= = ^/s<P(^i). Внаслідок рівності (3) маємо р (^>ї-і) = р [а (^і~і)] = *і—і і аналогічно р (&і) = tt. Таким чином отже, а звідси п п «(J) п п J x№(s)]ds= 2Ji = 2х(Ь'і)[а.(Н)-*(Ц-і)]. (4) а(а) ««І '-1 Але остання сума прямує до / х (t) da (t), якщо довжина найбільшого з а інтервалів підподілу (8) іде до 0; отже, з рівності (4) випливає рівність (3), що й треба було довести. Якщо тепер припустимо, що a (t) будь-яка функція обмеженої варіації, то її завжди можна виразити різницею ax (t) — — а2 (0> Де функції ах (t) і а2 (t) зростаючі; позначивши, як і ра- 1 Див. Н. Lebesgue, 1. о,, ст. 258—260, рос. пер., ст. 208—215. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)