Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
136 Розділ Z. Лінійні функціональні рівняння Отже, з (29) виходить U(x) = U (у) + І /W+D (у) = І І Лп №> (у) =Ux-y)9 звідки х — JiU(х) = у. Аналогічно маємо: X — Ті U (X) = Y. Таким чином рівняння (27) для кожного у, відповідно для кожного F, мають розв'язки. На підставі теореми 7, ст. 128, ці розв'язки є єдині і, тим самим, h є регулярним значенням, що й треба було довести. Теорема 18. Якщо для h ^ф Ь! мовмо то X (х) = 0. Інакше кажучи: власний елемент значення h є ортогональний до кожного власного функціонала значення h\ нерівного h. Доведення. Маємо X (х) = ТьХ [U {x)] =hU (X) (x), а через те що U (X) = Т7, то одержуємо X (х) = jtX (ж). Якщо Кфії, то мавмо X (х) = 0. § 4. Теореми Fredholm'a в теорії цілком неперервних лінійних рівнянь. Якщо в умовах попереднього параграфа операція U(x), крім того, є цілком неперервна, то для рівнянь (28) можна довести такі теореми, які є узагальненням теорем Fredholm'a для інтегральних рівнянь \ Теорема 19. Рівняння (28) мають ту саму скінченну кількість d(h) незалежних розв'язків. Це є тільки інший вигляд теореми 15, ст. 132. Теорема 20. Якщо d (h) = 0, то h e регулярним значенням. Це є висновок з теореми 14, ст. 132, і з попередньої теореми (19). Теорема 21. Якщо d(h)>0 і якщо розв'язки рівнянь (28) позначимо через {хі}, відповідно через {Хі}, де і = 1, 2, ..., d (h), то рівняння (27) мають розв'язки для кожного такого у, що задовольняв умови Хі (у) = 0, відповідно для кожного такого Y, що задовольняє умови Y (хі) = 0. Ця теорема є висновком з теореми 8, ст. 128, відповідно з теорем 9, ст. 129, і 11, ст. 130. Доведемо такі теореми: 1 Див. Ю. Шаудер, 1. с, Studia Mathematica II (1930), ст. 183-196. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)