Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Теореми Fredholm9а в теорії цілком неперервних лінійних рівнянь 137 Теорема 22. Якщо лінійна операція U{x) в цілком неперервна, то власні значення першого рівняння (27) у = х — hU (x) утворюють ізольовану множину1. Доведення. Нехай {hn} — нескінченна послідовність власних значень, де Ьіфіьі для іф). Покладемо хЛ = hnU (хп) і Хп=ф&. (ЗО) Спочатку доведемо за допомогою рекурентного методу, що елементи хп є лінійно незалежні. Справді, якщо б хі9 х2> . • ., #п-і були лінійно незалежні, але п-1 л-1 Хп = 2%іХі, ТО буЛО 6 Хп = hnU (Xn) = ^JlnOiiTJ (Хі), ЗВІДКИ Хп = 1 ї 1=1 = 2/ hnr-Xi і, тим самим, ^at 1 — =--) хі — 0. і=1 Лі г=1 \ Пі/ Тому що за умовою ^ф.\ для п > г, то видно, що вже елементи hi xv x2, . . ., хп-.г не були б лінійно незалежні. Після цього нехай для п = 1, 2, . . ., Еп — лінійна множина п елементів вигляду у^^аіХі] вона є замкнена і утворює справжні ню підмножину множини і/п+і- На основі (ЗО) для кожного п п х^ п-1 / }іп\ у ?Еп маємо: y — hnU(y)= 2*іхі — 2hn&i г~ — 2 ^М1 — г-)хи і=і г = і Лі /=1 \ Лі/ звідки 2/ — hnU (у) ЄЕп-г. Отже, згідно з лемою, ст. 71, існує послідовність елементів {Уп}, що задовольняє умови (17), ст. 131. Припустимо, що послідовність (&п) збігається. Тому що операція U є цілком неперервна, то послідовність {U (hnyn)} утворює компактну множину. З другого боку, для р > q маємо: І U (hpyp) - U (hqyq) \ = \уР- [уР - hPU (ур) + U (h&q)] | (31) і на основі (17) Ур^Ер; звідси виходить, як ми бачили, що Ур — hp U (ур) ? і?р--і; так . само kqU (yq) ? Eq (3 Eq-l9 звідки на підставі (17) і (31) | U (hpyp) — U (hqyq) \ > — для всіх р > q так? що послідовність (?7 {hnyni) не була б компактною множиною. 1 Див. Г. Riesz, 1. с, Acta Math. 41 (1918), теор. 12, ст. 90, або „Успехи математических наук", 1. с. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)