138 Розділ X. Лінійні функціональні рівняння Зважаючи на цю суперечність, не можна припускати, що послідовність (An) власних значень є збіжна. Тим самим вони утворюють ізольовану множину, що й треба було довести. § 5. Інтегральні рівняння Fredholm'a. Розглянемо тепер деякі застосування попередніх теорем. У просторах (&*>>) до рівнянь вигляду х — hXJ (x) = у зводяться так звані інтегральні рівняння Fredholin'а, загальний вигляд яких буде і х (в) - h fK (*, t) x (t) dt = y (s), (32) о де К (s, t) задовольняє певні умови. Спряжене рівняння X — hU (X) — Y набуває вигляду і X {t) —h/K (s, t)X{s)ds = Y (t). (33) о Легко дати інтерпретацію попередніх теорем у випадку цих інтегральних рівнянь. Якщо К (s, t) задовольняв відповідні умови, то лінійна опе- і рація / К {s,t)x(t)dt є цілком неперервна, і тоді можна застосувати о теореми § 2, 3 і 4 цього розділу до рівнянь (32) і (33). Зокрема, теореми 19—21 набувають тоді вигляду так званих теорем Fredholm'a (але вони, очевидно, справедливі також і поза інтегральними рівняннями). § 6. Інтегральні рівняння Yolterra. Рівняння вигляду S х (5) — fK (s, t) x {t) dt = y (s), (34) 0 де K (s, t) — неперервна функція, називаються рівняннями Vol- terra. s Тоді операція JK(s,t)x(t)dt є цілком неперервна в просторах (О) і (?<р>), де р >1. Доведемо, що рівняння х (s) — fK (e, t)x(t)dt = Q (36) о має тільки один розв'язок х (в) == 0.
|