Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 7. Інтегральні симетричні рівняння 139 Справді, припустимо, що x(s) задовольняє це рівняння; очевидно x(s) є неперервною функцією. Покладемо т = max | х (s) | і М = max | K (a, t) |. O1 O1 Отже, на основі (35) маємо s \x(s)\<M-f\x(t)\dt, (36) о звідки І х (s) І < М • т • s для 0 < s < 1; з чого, покладаючи в (36) М -m-s замість | х (t) |, одержуємо нерівність [ я;(в) | <і/2-т-1г. тт • і / м ^ (M-S)n ііоступаючи так послідовно, одержуємо | х (s) \ < ^ ~— • т для всіх п = 1, 2, ..,, звідки, очевидно, x(s) = 0. Тепер повернемось до рівняння (34). Зважаючи на те, що для х ? (С) і у ? (О), а також для х ? (№>) і у ? (?(р)) операція s, t) x (t) dt є цілком неперервна, то на основі теореми 14, о ст. 132, для кожного у ? (С), відповідно для кожного у ? рівняння (34) має точно один розв'язок х ? (О), відповідно х § 7. Інтегральні симетричні рівняння. Якщо операція y=U(x) для х і у простору (?(2)) є лінійна, то спряжену операцію X = U(Y) можна розглядати як лінійну для І і 7з простору (?(2))- Справді, через те що кожний лінійний функціонал у просторі і (L(2)) (див. розд. IV, § 4, ст. 52) має вигляд fX (і) x(t)dt9 де о X{t)?{LW)y то Y(t) можемо розглядати як представника цього функціонала. Операцію U(x) називають симетричною, якщо і і fyU(x) dt =fxU(y) dt для х ? (L&) і у ? (L<2>). (37) 0 0 1 1 Через те щоJyU{x)dt=fxU(y)dt, то кожна симетрична one- о о рація є тотожна з спряженою з нею операцією. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)