Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
РОЗДІЛ XL ІЗОМЕТРІЯ, ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ, ІЗОМОРФІЯ. § 1. Ізометрія. Нехай Е і Е± — метричні простори (див. Вступ, § 7, ст. 11), а у = U (ж), де х ? Е і у ? Ег — однооднозначна операція, що перетворює простір Е в цілий простір Ег. Кажемо, що це перетворення с ізометричне, коли воно не змінює віддалі, тобто коли маємо: (хі9 х2) = (уі9 у2)9 де уг = U (хг) і у2 = U {х2) для кожної пари хі9 х2 елементів простору Е. Коли Е і Ех є векторіальні і нормовані простори, то кажемо, що перетворення простору Е в Ег, дане операцією у == U (х)9 є лінійне, якщо операція U (х) є лінійна. Тому що векторіальні, нормовані простори є метричними просторами (див. розд. IV, § 1, ст. 45), то можна розглядати також ізометричні перетворення цих просторів один в одний. § 2. Простори (Ь<8>) і (1(2)). Теорема 1. Простори (?(2)) і (1{2)) є ізометричні. Доведення. Справді, нехай {xt (if)}, де 0 < t < 1, — довільна ортогональна нормована і повна послідовність. Коли х ? (?(2)), то, як відомо, маємо ' 1 12 1 fxt(t) x(t)dt =fx2(t)dt, (1) 00 1 2 l===1 L 0 Отже, позначаючи через U {х) послідовність у = {т]і}, де і т]/ = Jxt (t) х (t) at, на основі (1) маємо у ? (Д2>) і | U (х) \ = | х |. о Тому що операція у = U (х) є адитивна і не ршіяє норми, то вона є лінійна операція. З теорії ортогональних рядів відомо, що для кожного у ? {№) існує одна і тільки одна така функція х (t) ? (Z/(2)), що у = U (х). Отже, лінійна операція у = U (х) перетворює (?(2)) в {ІЩ взаємно однозначно і не змінює норми, тобто віддалі. Тим самим простори (?(2)) і (?(2)) є ізометричні. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)