Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
142 Розділ XI. Ізометрія, еквівалентність, ізоморфія Зауваження. Як побачимо далі, простори (Х(р)) і (№) в тільки тоді ізометричні, коли р = q = 2. Це є наслідок висновку (розд. ХІІ> § 3), ст. 175. § 3. Ізометричні перетворення векторіальних нормованих просторів. Теорема 2. Кожне тане ізометричне перетворення U (х) векторіального нормованого простору в другий, що U (0) = 0 є лінійне \ Доведення. Нехай Е — довільний простір (D), a xv хг — довільна пара точок простору Е. Позначимо через Н1 множину таких точок х ?Е, що (x,x1) = (x,x2)=j(x1,x2) (2) і для п = 2, 3, ... через Нп множину точок х ? Я„_і, для яких справедлива нерівність !_!) (3) для z ? #„_і, де 8 (#п_і) означає діаметр множини #п_і, тобто верхню грань віддалей її точок. Означивши так послідовність {#п}, маємо: = 0. (4) Справді, якщо множини Нп не є порожні, то для кожної пари х', х" точок множин Нп маємо: х' ? Нп-і (бо за означенням Нг^) Н2^) .. • Ц) Нп ID .. .)> отже, на основі (3), (х'у х") < — S (#п-і) і тим самим 8 (Нп) <-^8 (#п-і), U Сі звідки В(Нп) <оН^Ї^ (ні)- 3 другого боку, на підставі (2) для кожної пари х', х" точок множини Нг маємо нерівність (а/, х") ¦< (x't хх) + (х", хг) = {хгі ж2), отже, 8 (Hj) -^ (xv х2) і тим самим 8 (Нп) ¦< ^zj (хі> хь)> звідки одержуємо рівність (4). З цього виходить, що спільна частина множин Нп (якщо вона непорожня) зводиться до однієї точки. Назовемо цю точку центром пари хг, х2. Нехай тепер Е — векторіальний, нормований простір. Тоді для кожних двох точок х' і х" з Е маємо aT) = \af— x" \. 1 Цю теорему подали S. Mazur і S. Ulam (див. Comptes Rendus de l'Aead. des Sc. 194, Paris (1932), ст. 946—948). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)