Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Ізометричні ^перетворення векторіальних нормованих просторів 143 Покладемо х = хг -f #2 — х Для я ?18. Легко бачити, за допомогою індукції, що з х ?Нп випливав х ?Hn для кожного п = 1, 2, . . . (5) Справді, якщо х ? Hv то маємо \х — хх\ — \х — х2\ і \х — х21 = | х — хг\, отже, |х — хг\ = \х — х2\ = — |xt — a?2|f звідки на основі (2) х?Нг і з умови, що співвідношення (5) є справедливе для п — 1, маємо для ж' G Яп-і, хг + + х% — х' G Яп-і. Якщо о? G -HVi, то на основі (3) маємо: | х — х' \ = | (хг + + п?2 — а?') — гг | < у 8 (Нп-і), звідки х Є Нп. Доведемо, що точка ?> = -—(х1-\- х2) є центром пари хі9 х2. Справді, маємо \ ? Hv бо \хг — ? | = І х2 — ^ І = іг ! жі ~* ^21 • Тоді припустимо, що ^jEfn-i* Для кожного #?#п_ь на основі (5), маємо: rtr г _ ^ г ті . і q 9 І ? ті — lrr-4-rr 2rl — робимо висновок, що І ^ — ж І < — 8 (Яп_!), звідки ? ? Нп. Зважаючи на те, що точка ? міститься в множині НПу для кожного натурального п вона є, тим самим, центром точок хх, х2. Нехай тепер Ех — також векторіальний нормований простір, і у = U (х), де х ? Е і у ? Ег ізометрична операція, що перетворює проетір Е на цілий простір Ег так, що U (0) = 0. Зважаючи на метричний характер означення поняття центра, легко бачити, що центр довільної пари точок xlf x2 простору Е перетворюється в центр пари U{хг), U{x2) точок простору Ех. Отже, маємо: Е і х2Є Е, V [у (*і + *2)| = Y W W + U (х2)] для хг звідки, покладаючи х± = х і х2 = 0, на основі умови U (0) = 0 одержуємо JJ(— х\— —U(x) для кожного х ? Е. З цього виходить, що для довільної пари точок хх і х2 простору Е |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)