Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
144 Розділ X/. Ізометрія, еквівалентність, ізоморфія Отже, операція U(x) є адитивна і, зважаючи на неперервність, лінійна. Те саме стосується до перетворення у = U (x), що й треба було довести. § 4. Простір дійсних неперервних функцій. Коли дано довільну метричну, повну і компактну (див. Вступ, § 7, ст. 11) множину Q, то множину Е дійсних і неперервних функцій х (q), означених для q ? Q, можна розглядати як простір типу (Б), коли означимо звичайним способом додавання і множегня на числа і за норму виберемо максимум модуля функції. Лема. Нехай x{q) ?Е, q?Q. Щоб для даного елемента q виконувалася нерівність I x (ffo) I > I x (я) І для кожного q =? qB, (6) необхідно і достатньо, щоб існувала границя " х A-hz II — II ? для всіх z(q) ?Е. Далі, якщо функція x(q) задовольняє нерівність (6), то маємо: lim - J-! ¦—- = z (q0) • sign x (q0) для всіх z (q) ^ E. n->o h ТТ -* • S-4 • (І , = X Доведення. Умова є необхідна. Справді, маємо: J| а? || | <, І і на підставі того, що неперервна функція | х -f- hz \ приймає свій максимум, одержуємо: х (q0) + hz (q0) \ — \х (q0) \ < || х + hz \\ — || х ff = | х (qh) + (8) де qh є незалежна від h точка, яка міститься в Q. З (8) одержуємо: І х {%) + uz (#о) і < І х І9.ь) + hz {qh) I і. тим самим, О <\х {qQ) \—\х {qh) | < | Ті \ • | z {q0) \ + | h | • | z {qh) \ < 2 | h | • || z ||, звідки lim | х (qh) \ = \ х (q0) \. ft->0 Вважаючи на компактність множини Q, виходить, що lim qh = q0. (9) л Тепер розглянемо спочатку випадок, де х (q0) > 0. Тоді існує таке є > 0, що з нерівності | h | < є випливає рівність І х Ш + hz {q0) І — | х (q0) | = х (q0) + Az (g0) — х (qQ) = hz (q0) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)