Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Простір дійсних неперервних функцій 145 і на підставі (9) л І х (qh) + hz (qh) \ — \x {q0) \ = х (qh) + hz {qh) — x (q0) < hz [qh), звідки на основі (8) hz{q0) < \\x -\-hz\\ — \\x\\ < hz(qh); отже, зважаючи на (9) і неперервність функції z (q), маємо У випадку, коли х(q0) <О, поступаючи аналогічно, одержуємо: Ми довели необхідність умови існування границі (7), а також другу частину леми. Для доведення достатності умови припустимо, що модуль функції x(q) приймає свій максимум у двох різних точках q0 і qx множини Q, тобто що И?о)і = |з(?і)| > \x(q)\ Для всіх q?Q. У випадку, коли x(qo)>O, покладемо: z(q) = (q, q±). Виходить, що: || х + hz || — || х || > х {q0) + Л (q0, qx) — x (q0), звідки liminfn*+fe|i-iHi>(go;gi)>o, Одночасно маємв: ||я; + Аг|| —1|x\\ > \x(qj -j-hiq^qj\ — \x(q1)\=O> звідки lim sup u ? u—^ < 0, (11) —О Л отже, нерівності (10) і (11) доводять неможливість існування границі (7). У випадку, коли #(до)<О, покладаючи z = — (q,q1), доходимо того самого висновку, що й треба було довести. Дві множини називають гомеоморфними, якщо існує одноод- нозначне і взаємно неперервне перетворення одного простору в інший. Теорема 3. Щоб дві метричні, повні і компактні, множини Q iQx були гомеоморфні, необхідно і достатньо, щоб простори Е і Ех дійсних неперервних функцій, означених у цих множинах, були ізометричні. Доведення. Необхідність. Легко перевірити, що тоді, коли q'=f(q), де q?Q і q' ?Qlt означає однооднозначне і взаємно неперервне перетворення Q в цілу множину Qlt то перетворення простору Ег в Е, яке кожній функції y{q?)?Ex припорядковуе функцію x(q) = y\f{q)\ ? Е, є ізометричне. 10 С. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)