Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
146 Розділ XI. Ізометрія, еквівалентність, ізоморфія Достатність. Простори Е і Ег за умовою є ізометричні; нехай у = V(x) — однооднозначна операція, яка перетворює Е в цілий простір Ег, припорядковуючи кожній функції x(q)?E функцію у (q') ? Ег, так що || V{xx) — V(x2) || = ||я?і — хг || для всіх хг і х2 простору Е. Покладаючи U(x) = V(x)— 7(0), легко бачити, що операція U (х) має ті самі властивості і, крім того, маємо U(@) — 0. Отже, ка підставі теореми 2, ст. 142, операція у = U(x) є лінійна: Нехай q0 — дана точка множини Q, 'dx(q)?E, де q?Q — є функція, що задовольняє нерівність (6) леми, ст. 144. Тому що операція y—U(x) не змінює норми, то, покладаючи U(z) = t, де z?E для кожного числа Ті, маємо: h h звідки, згідно з попередньою лемою, У z(q0)- sign х(q0) = lim »У+**ll - 1ІУ11. (12) ft+O & Зважаючи на те, що операція U(z) перетворює Е в цілий простір ЕІУ границя (12) існує для всіх t ? Ev Отже, на підставі леми, існує таке 2о?#і> Щ° 12/(Зо) І > І У(Я.')\ Для кожної точки ^^з^і lim -^ г11~іШі = t (q'o) • sign у (q'o) для всіх і Є Ev Звідси, на основі (12), робимо висновок, що z(q0) • sign x(q0) = = t(q'Q) • sign y(qo), звідки, покладаючи є (gj) = sign x{q0) . sign y.(gj), одержуємо таке співвідношення між qo?Q і д'о Є ^і: = 1; (13) воно справедливе для кожного z?E і t = U(z). Розглянемо тепер функцію яка перетворює Q в Це перетворення є взаємно однозначне. Справді, рівність q[ = q'2, Де q[ = /(&.) і Чк = /(&) на підставі (13) дає | z{qx) \ = \ z(q2) | для всіх функцій z?E\ звідси випливає рівність ^ = д2, бо вона справедлива, зокрема, для функції z (q) = (q, qx). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)