Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 5. Обертання 147 Функція / перетворює також Q в цілу множину Q^ Справді, для довільного q' = Qly на основі (13), покладаючи t {q') = 1 -., маємо: Sf) всіх qo?Q. (14) , ~ Ч ) Тому що Ц z Ц = Ц11| = 1, то існує таке q0 ?Q, що \z (q0) | = 1. Зважаючи на (14), для точки qo=f(q0) маємо: , __ = 1, бвід- ки (q'o, q7) = 0 і тим самим, q' — q'o. Нарешті, перетворення / є неперервне. Справді, нехай q0 = lim qn і q'n = / (qn) для п = 1, 2, ... На підставі (ІЗ) для всіх t ? jE^ випливає lim | і (g^) | = 11 (qo) \, звідки, зокрема, для t (qf) = (q', q'o) має- n-V-oo mo lim (qn, q'o) — (^o, qo) = 0 і, тим самим, lim q'n = q0. П->оо П->-ао Звідси, зважаючи на компактність множин Q і Qv виходить, що ці множини є гомеоморфні, що й треба було довести. Зауваження. З цього доведення видно, щ@ тоді, коли операція у = U [х) перетворює простір Е в простір Ег ізометрично і U (0) = 0, то існує функція q' —f (q), яка перетворює Q в Q1 гомеоморфно, і така неперервна функція e(q'), що У Ю = х [/-1 (q')] • є W), ?,ey=U(x)i\e (q') \ = 1. Застосування. З наведеної теореми 3 виходить, зокрема, що простір (С) неперервних функцій х(і), означених для 0 < t < 1, не в ізометричний з простором неперервних функцій х (и, v) двох змінних и і v, означених у квадраті 0<w<l, 0<#<l. Тимчасом простір (№>) сумовних з р-тим степенем функцій, означених у проміжку 0 < t -< 1, є ізометричний з простором сумовних з р-тим степенем функцій, означених у квадраті 0<ад<1,0<г><1. Справді, існує взаємно однозначна функція t = 9 (и> v)> Щ° перетворює цей квадрат (за винятком множини нульової міри) в проміжок [0,1] (також за винятком множини нульовеї міри) так, що вимірні множини перетворюються в множини рівної міри. Припорядковуючи кожній функції х (t) ? (№>) функцію у (и, v) = = х [9 (и, v)], одержуємо перетворення двох функціональних просторів один в одний, яке, як легко бачити, не змінює віддалі. § б. Обертання. Обертанням простору Е типу (Б) навколо точки хо?Е називаємо таке взаємно однозначне й ізометричне перетворення простору Е в ЦІЛИЙ ПрОСТІр JEr, ЯКе ПереТВОрЮЄ ТОЧКу Xq В Xq. 10* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)