Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
148 Розділ XI. Ізометрія, еквівалентність, ізоморфія На підставі теореми 2, ст. 142, кожне обертання навколо 0 є лінійним перетворенням. Дослідимо обертання в деяких окремих випадках просторів типу (В). Простір (С). Найзагальніше обертання в (С) навколо 0 дає операція вигляду де х (t) ? (С), є = -f-1 або — 1 незалежно від х (І), a a (t) є довільно вибрана неперервна функція, що перетворює замкнений проміжок 0 < t < 1 взаємно однозначно в себе самого. Доведення випливає з зауваження на ст. 147, бо, зважаючи на те, що є (t) є така неперервна функція, що | є (І) \ = 1, маємо є (t) = const. Простір (с). Цей простір можемо розглядати як простір неперервних функцій, означених на обмеженій і замкненій множиш дійсних чисел, які мають тільки одну точку скупчення. На підставі зауваження ст. 147 легко довести таку теорему: Найзагальніше обертання простору (с) навколо 0 дає операція у =U (х), де X = {In} Є (С), у = {Y]n} Є (С) І 7]„ = Єп • lv(n)\ тут (єп) позначає таку довільну збіжну послідовність, що | єп | = 1 для п = 1, 2, ..., а ср{п) довільно вибрана функція, яка перетворює взаємно однозначно множину натуральних чисел у себе саму. Простір (Х(2)). Кожне обертання простору (?(2)) навколо 0 має вигляд п=і {t) /а„ (t) х (t) dt, (15) де х (t) ? (Xr2)), ar{ctn{t)}, {?M0} e довільні повні в (?(2)) послідовності ортогональних і нормованих функцій, означених у проміжку 0 < t < 1. Доведення. На підставі (15) маємо: 1 (t) dt= о n=>1 •М- ФЛ Л. /а„ (t) x {t) dt = fx2 (0 dt, .0 J0 звідки ||у|| = ||а?||. Кожне перетворення вигляду (15) є тим самим обертанням навколо 0. Навпаки, нехай у = U (х) — обертання навколо 0 дане в просторі (?(2)), a (an (t)} довільна, повна в (L(2)), ортогональна і нормована послідовність. Покладаючи (3n {t) = U [an {t)], де п — 1, 2, ..., маємо: І х (t) = 2 «n (t) /an (t) x {t)dt, л1 |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)