Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
В. Множини й операції вимірні (В) в метричних просторах 11 В. Множини й операції вимірні (в) в метричних просторах. § 7. Метричні простори. Кажуть, що дана, непорожня множина Е утворює метричний простір, або простір (D), якщо кожній упорядкованій парі її елементів х, у відповідає число (х, у), що задовольняє такі умови1: 1) (х, х) = 0, (х, у) > 0, якщо хфу, 2) (я?, у) = (у, х), 3) (я, %) < (ж, у) + {у, г). Число (х, у) називають віддаллю точок (елементів) х, у. Послідовність точок {хп} називають збіжною2, якщо Km (xp> xq) = 0; (5) р, д->«> цю послідовність називають збіжною до точки х0 (позначаємо це через Km хп = х0), якщо Km Тоді точку х0 називають границею (або граничною точкою) послідовності {хп}. Легко бачити, що з формули (6) випливає формула (5), бо завжди маємо (Хр, Xq) < (Хр, Хо) + (0?в, Я?о). Звідси виходить, що послідовність, збіжна до якоїсь точки, є завжди збіжною послідовністю; але збіжна послідовність не обов'язково повинна збігатися до якоїсь точки. Якщо простір (D) має таку властивість, що кожна збіжна послідовність збігається в ньому до якоїсь певної точки, то він називається повним простором. Такий простір (D), що кожна нескінченна послідовність його точок містить у собі послідовність, збіжну до якоїсь точки, називають компактним простором. Кожний евклідів простір являє собою приклад повного простору (D). Наведемо ряд інших важливих прикладів таких просторів. 1 Три умови 1)—3) можна замінити такими двома: 1*) рівність (х, у) — 0 еквівалентна рівності х = у1 2*) (х, z) << (ж, у) + (z, у). Див. A. Lindenbaum, Sur les espaces metriques, S'undamenta Mathematicae VIII (1926), ст. 211. 2 Послідовності, збіжні в нашому розумінні, називають звичайно „послідовностями", що задовольняють умову Gauchy, тобто умову (5)* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)