Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
12 Вступ 1. Нехай (8) є множина функцій, вимірних в інтервалі [О, 1]. Нехай кожній упорядкованій парі х, у елементів цієї множини1 відповідає число Можна легко перевірити, що наведені умови 1) — 3) для віддалі задовольняються. Умови 1) і 2) виконуються, бо не вважаємо різними такі функції, що мають різні значення тільки на множині нульової міри. Щоб довести, що задовольняється також умова 3), досить зауважити, що для кожної пари будь-яких чисел а, 6 маємо: \* + Ь\ . \а\ \Ь\ Отже, так „метризована" множина (8) утворює простір (D); цей простір повний, бо збіжність послідовності його точок {хп} (до точки х0) зводиться тут до асимптотичної збіжності послідовності функцій {xn{t)} (до функції xo(t)} в [0, 1]. 2. Нехай (в) — множина всіх послідовностей чисел. Приймаємо для кожної упорядкованої пари х, у її елементів2: Тоді множина (s) утворює повний простір (D). Справді, збіжність послідовності точок {хт} (і відповідно її збіжність до точки х0) полягає тут у тому (коли прийняти хт = { ?пШ)} і хо — {?д})? Щ° Для всякого натурального п кожна з послідовностей {^Jf1*} є збіжна (відповідно збіжна до En), коли m нескінченно зростає. 3. Нехай (М) є множиш функцій вимірних і обмежених у [0, !]¦ Якщо для кожної пари х9 у її елементів приймемо (#, у) = vrai max \ x(t) — у (t) j, то одержимо повний простір (D). Збіжність послідовності точок {хп} (до точки х0) зводиться тут до рівномірної збіжності майже всюди в [0, 1] послідовності функцій {xn{t)} (до функції xo(t)). 1 Мишемо: х = х (t), у = у (t)y хп = хп (t) і х0 = х0 (t) у всіх прикладах, в яких ху уу хп і х0 є елементами множини функцій. 2 Приймаємо а?=={?л} і У = {^іп} у всіх прикладах просторів, що їх елементи є послідовності. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)