Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
В. Множини й, операції вимірні (В) в метричних просторах 13 4. Нехай (т) буде множина обмежених послідовностей чисел. Приймаючи (х,у) = sup | In — 7j*|, К легко побачимо, що множина (т) утворює повний простір (D). 5. Нехай (С) буде множина функцій неперервних в [0, 1]. Для кожної пари х, у її елементів приймемо (х, у) = max Тоді множина (С) утворює повний простір (D); збіжність послідовності точок {хп} (до точки х0) зводиться до рівномірної збіжності в [0,1] послідовності функцій {xn(t)} (до функції xo(t)). 6. Нехай (с) буде множина збіжних послідовностей чисел. Означаючи для кожної пари х9 у її елементів їх віддаль (х, у) так, як у множині (т), легко побачимо, що множина (с) також утворює повний простір (D). 7. Нехай (CW) буде множина функцій, що мають неперервні похідні аж до р-того порядку в [0, 1]. Приймаючи (х, у) = max | х (t) — у {і) \ + max | ж<р> (t) — уW (t) |, 0<t<l одерлсуємо повний простір (D). Щоб послідовність точок {хп} була в ньому збіжна (до точки х0), необхідно і достатньо, щоб послідовність функцій {%n(t)}9 а також послідовність функцій {хіп} (*)}» були рівномірно збіжні в [0,1] (перша до функції х0 (і), друга до функції х{^ (t)). 8. Нехай (?(р)), де р > 1, буде множина функцій> су мовних з р-тим степенем в інтервалі [0, 1]. Приймаючи і (#, У) = і f\x{t)-y{t)\P Р бачимо, що множина (?(Р)) стає повним простором (D). Щоб послідовність {%п} точок була збіжна (до точки х0), необхідно і достатньо, щоб послідовність функцій {xn(t)} збігаларя в [0, 1] в середньому р-того степеня (до функції xo(t)). 9. Нехай {І{р)), де р > 1, буде множиш таких послідовностей чисел. CD для яких ряд 2 \?п\р збігається. Приймаючи для елементів х, у множини (№>) одержуємо повний простір (D). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)