Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
14 Вступ 10. Множина аналітичних функцій / (z), рівномірно неперервних у колі І z І < 1, утворює повний простір (Z>), якщо означимо віддаль двох функцій / (z) і 9 (z) через max|/(z) — ?(z)|. |z|<l Треба зауважити, що можна відповідно подати означення для множини функцій п змінних, що відповідають прикладам 3, 5, 7 і 8. § 8. Множини в метричних просторах. Нехай Е є будь-який простір (В) і О довільна множина елементів (точок) цього простору Е. Точку х0 називають точкою скупчення множини G, якщо існує така послідовність точок {#п}, що х0 =/= хп Є G для кожного п і lim xn = — х0. Множину всіх точок скупчення мнсжини G називають її похідною множиною і позначають через О\ Множину називають замиканням множини G; множину G називають замкненою, якщо (?' C2 G, та досконалою, якщо G' = G. Кажуть що множина G є відкрита множина, якщо її доповнення (тобто множина Е — О) в замкнена множина. Кожну відкриту множину називають також околом кожної ЇЇ точки. Нехай дано точку хо?Е і число го>О; множину всіх таких точок х, для яких (х9 #0)<г0, називають сферою; множину таких точок х, для яких (х, х0) <г0, називають відкритою сферою; точку х0 називають центром, а число г0 радіусом цієї сфери (або відкритої сфери). Кажуть, що множина G густа, якщо G = Е, і негуста, якщо множина G не містить у собі жодної сфери. Простір Е називають сепарабельним, якщо він містить у собі густу зчисленну множину. Легко бачити, що кожний метричний компактний простір (значить такий, що кожна нескінченна послідовність точок містить у собі збіжну послідовність, див. ст. 11) є сепара- бельний. Множину G називають "'множиною першої категорії, якщо вона є зчисленною сумою негустих множин; в противному випадку її називають множиною другої категорії. Множину G називають множиною першої категорії в точці х0, якщо існує такий окіл V точки х0, що G • V множина першої категорії; якщо жодний окіл точки х0 не має цієї властивості, то кажуть, що G множина другої категорії в точці х0. Можна довести таку теорему. Теорема 1. Якщо множина G, що міститься в будь-якому метричному просторі Е9 є множиною другої категорії, то в Е є така |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)