Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
В. Множини й операції вимірні (В) в метричних просторах 15 сфера К, що G є множиною другої категорії в кожній точці множини G • К1. Припустимо тепер, що Е є повним простором (D). Доведемо таку лему. Лема. Нехай в Е задано послідовність {Kv) сфер з радіусами тп, так що Кп + і d %п для кожного п = 1, 2, . .., і lim rn = 0. Тоді ці всі сфери мають спільну точку. п->°° Доведення. Нехай хп буде центр сфери Кп. За умовою для натуральних чисел р < q маємо xq?Kq(2 Kp, а звідси (хр, xq) < гр. (7) З цього виходить, що послідовність точок {хп} збіжна, Покла- даючи (бо простір Е повний) lim хп = х0, для р < q (за формулою П->00 (7)) маємо: (хр, xQ) < (xp, xq) + (xq, xQ) <гр-\- (хф xQ), отже, (хр, xQ) < *?rp. Число р будь-яке натуральне число; отже, точка х0 належить до всіх сфер Кп, що і треба було довести. Простим висновком цієї леми є така теорема. Теорема 2. Кожний метричний і повний простір Е є множиною другої категорії. Доведення. Припустимо, навпаки, що 7/Т ЧГТ /"У /О\ & — 2/ ^л? (о; де кожна з множин Gn негуста. Звідси виходить, що існує послідовність сфер {-йГп} з радіусами гп, які мають такі властивості: KX9GX = 0, гг < 1 і Кп +1С^п, Кп +1 • Gn +1 = 0, гп +1 <^TTJ- Отже, за лемою, існує точка х0, що належить до кожної сфери. Для кожного п = 1, 2, .. ., маємо Кп • б?п = 0, отже, ця точка не може належати до жодної множини Gn, але це суперечить (8). Нехай тепер Е буде довільний простір (D) та Е* будь-яка множина точок цього простору. Коли до елементів множини JS7* застосуємо те саме означення віддалі, яке ми прийняли в просторі Е, то множина і?* буде знову простором (D). Розглянемо множину G (Z Е*- Якщо вона, наприклад, негуста, коли її досліджуємо в просторі Е*9 то кажемо, що вона негуста відносно (множини) JSr*;. слова „відносно (множини) Е*" пропускаємо тільки тоді, коли J5J* = Е. Так само робимо тоді, коли мова йде про інші означення, запроваджені на початку цього параграфа. З теореми 1 виходить, що множина 6г, першої категорії у всіх своїх точках відносно Е*, є першої категорії відносно Е*. Подібно 8 теореми 2 виходить, що тоді, коли метричний простір Е 1 Щодо доведення див. S, Banach, ThSor&me eur les ensembles de premibre catigorie, Fundamenta Mathematicae XVI (1930), ст. 396. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)