Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
J6> Вступ повний, а множина Е* замкнена, то ця множина є другої категорії відносно самої себе. Розглянемо в довільному метричному просторі Е найменший клас К множин цілого простору, що задовольняє такі умови: 1) кожна замкнена множина належить до К, 2) колена зчисленна сума множин, що належать до К, належить до К, 3) кожне доповнення множини, що належить до К, належить Множини класу К називають множинами вимірними (В). Про множину G кажуть, що вона задовольняє умову Ваіге'а, якщо кожна досконала множина Р {ф 0) містить у собі таку точку х0, що принаймні одна з множин: P-G і Р—О є множиною першої категорії в точці х0 відносно Р. Маємо таку теорему. Теорема 3. Кожна множина вимірна (В) задовольняє умову Ваіге'а1. § 9. Операції в метричних просторах. Нехай Е та Ег є будь-які непорожні множини. Коли кожному елементові х ? Е припорядкуємо якийсь один елемент множини Е1} то кажемо, що ми означили операцію в множині Е. Елемент, що відповідає елементові х, називаємо значенням цієї операції в х; множину Е називаємо областю, а множину значень протиоблашю нашої операції. В окремому випадку, коли значення даної операції є числа, її називають функціоналом. Припустимо тепер, що множина Е утворює простір (D) і нехай Ь(х) є операція, Е її область, а деякий простір (D) її проти- область. Операцію U(x) називають неперервною є точці х0, якщо для кожної послідовності точок {#п}, збіжної до точки xQ, маєU(x) мо lim Ufan) — U(x0); операцію U(x) називаємо неперервною в Е, П->00 якщо вона неперервна в кожній точці цього простору. Коли задано послідовність операцій {Un{x)} і операцію U0(x), визначені в Е, і протиобласті цих всіх операцій належать до того самого простору (D), то кажуть, що ця послідовність операцій збігається в точці й*0 до операції U0(x0), якщо послідовність значень Un(x0) збігається до U0(x0). Послідовність операцій {Un{x)} збігається в Е до операції U0(x), якщо вона збігається до ІІ0{х) в кожній точці простору Е. Операцію U0(x) називають границею послідовності операцій {Unix)), якщо ця послідовність збігається в Е до UQ(x). Замість „операція неперервна в Е", кажуть коротше „неперервна операція", коли ясно, який простір розглядаємо; подібно робимо з іншими поняттями. 1 Доведення див. S. В а п а о h, L о., ст. 398. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)