Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
^ В. Множини й операції вимірні (В) в метричним просторах 17 Нехай К є найменший клас операцій (причому даний метричний простір Е є спільною областю для цих операцій, а протиобласті поодиноких операцій є частинами деякого метричного простору), що задовольняє такі умови: 1) кожна неперервна операція належить до К, 2) кожна границя збіжної послідовності операцій, що належать до К, належить до К. Операції цього класу називають „вимірними (В) операціями". Кажуть, що операція U(x) з областю Е та з протиобластю, яка є також метричним простором, задовольняє умову Ваіге'а, якщо в кожній непорожній досконалій множиш Р (ZE існує така множина О першої категорії відносно Р, що операція U(x), розглядувана в просторі Р—G, неперервна в цьому просторі. Маємо таку теорему: Теорема 4L Кожна вимірна (В) операція задовольняє умову Ваіге'а1. Можна також довести таку теорему: Теорема 5. Ящо операція U(x)y означена в просторі Е, є там границею неперервних операцій, то в Е існує така мпожииа О першої категорії, що операція U(x) неперервна в кожній точці множини Е — О. Наступна теорема встановлюо зв'язок між вимірними (В) множинами і вимірними (В) операціями; нехай Е є метричний простір, в якому вони означені, а Ег простір, що містить у собі їх значення. Теорема 6* Якщо маємо (В) вимірну операцію U(x), то для кожної {В) вимірної множини Ot(ZE множина G таких точок #, що U(x) ?GV є (В) вимірна2. Теорема 7. Ящо простори Е і Е± сепарабельні, а операція U(x) неперервна в Е, то відображення вимірних (В) множин G CLE задовольняють умову Ваіге'а. Якщо з х ф х' випливає U (х) ф. =fiU(x'), то відображення вимірних (В) множин є також вимірні (В). Перша частина теореми виходить з того, що неперервне відображення вимірної (В) множини є завжди так званою „аналітичною"3 множиною і з того, що кожна аналітична множина задовольняє умову Ваіге'а4. Доведення другої частини теореми можна також знайти в книзі F. Hausdorffa5. 1 Доведення див. S. Banach, Lc, ст. 397. 2 F. Hausdorff, Mengenlehre, Berlin und Leipzig, 1927, ст. 195, II. 3 Диб., напр., F. Hausdorff, L c, ст. 179, 208 і 209, II, рос. пер., ст. 210. 4 Див. О. Nikodym, Sur une propertie de Voperation Ay Fundamenta Mathematicae VII (1925), ст. 149—154;'доведення для евклідових просторів, яке там подане, можна легко застосувати до загального випадку, коли застосуємо вище наведену теорему про множини першої категорії (S. Banach, 1. с, ст. 395). 6 1. с, ст. 208, II. 2 С. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)