Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
18 Вступ Теорема 8. Якщо операції V (х) і U" (х) вимірні (В), то функціонал (U'(x), U"{x)) також вимірний (В). Дозедення виходить з того, що з неперервності операцій U'{x) і U"(x) випливає неперервність функціонала (U'(x), U"(х)) та що для кожної точки у0 ? Ег функціонал {у, у0) = (у0, у) неперервний в Ег. Теорема 9. Множина точок G, в яких послідовність вимірних (В) операцій {Un(x)} збіжна, є вимірна (В). Доведення. Нехай Gp, q, Т для натуральних р, q і г є множина таких точок х, що (Up(x), Uq(x)) < —. За теоремами 7 та 8, множини Gp, q> r — вимірні (В). Отже, маємо G = П 2 П Gp, qy ґ, а звідси виходить, що г=1р=1q=p множина G вимірна (В). Теорема !()• Нехай {U'n{x)} і (?7п(^)} є послідовності вимірних (В) операцій. Якщо для кожного х?Е маємо lira(U'n(x), U'n(x)) < оо, то функціонал Ііт(І7п(;г), Un{x)) вимірний (В). Доведення. Нехай для кожної п&ри натуральних чисел р, q і для кожної точки х буде: Fp, q{x) = max (СГп(яг), ТГп{х)). p<n<p+q—I Для кожного х маємо, очевидно, Km (U'n(x), Unix)) = Urn UmFp9q(x). Отже, досить довести, що кожний з функціоналів Fp,q{x) вимірний (В). Але, за теоремою 8, кожний функціонал FP91(x) = = (U'p(x), Up(x)) вимірний (В) і, зауваживши, що для кожного q > 1 2-РР,,+1(я) =FP9q{x) + Рр+Ф1(х) + \Fp,q{x) —Fp+q9l(x) |, з допомогою індукції, а також застосовуючи теорему 8, приходимо до висновку, що всі функціонали Fp, q (x) вимірні (В). Теорема 11. Якщо задано послідовність таких неперервних і невід'ємних функціоналів {.Fn(#)}, що для кожного елемента х множини другої категорії G(^E маємо limjFn(#) < °°, то існує така сфера К(2Е і таке число N\ що Fn(x) < JV, для всякого х?К і для кожного п = 1, 2,... Доведення. Такі множини (точок х) Gi, для яких Fn(x) < г, 00 для п = 19 2, ..., очевидно є замкнені і маємо 0СІ2@і\ отже, г=і Існує такий індекс N, що GN є множина другої категорії і тому що вона замкнена, то містить у собі сферу К. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)