Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 5. Обертання 151 Нарешті, у випадку, коли 1 < р < 2, розглянемо для і = 1 і 2 і функціонал Yi{y)=fYi{t)y(t)dt, де y{t)?(LW), a Yt{t) = о = І уі (0 \р~г * sign уі (t). Спряжена операція X = U(Y) є обертанням простору (іДі^ї)] навколо в1. Покладемо Хі = U(Yi) іХі(х) = і = /Хі (t) х (t) dt,wx? (Up)). Маємо: Xt (xt) = Yt (yi) = | Yt \ • | yt \ = о = | Xt | • | хі |, звідки на основі нерівності Riesz'a Xt (t) = 0 для тих самих значень t, для яких хі (t) = 0. Отже, Хх (t) • Х2 (і) = 0 і, тому що —?-у > 2, то з попереднього випадку виходить, що Yx (t) • Y2(t) = 0 і тим самим у2 (і) • у2 (t) = 0. Таким чином умову (19) доведено. 2. Нехай дано обертання у =U (х) простору (Z(p>), де 1 < р ф 2, навколо точки 0; якг^о для деож послідовностей хг = {??)}& #2 — {^п^» що містяться в просторі \іїр)), маємо: ?{J> • ^2) = 0 5лл л = 1, 2, . . ., то для послідовностей у1 = Ufa) = {vj^} і У% = U(x2) = — {^іг^} також маємо: ^ • ^ == 0 для п = 1, 2, ... Доведення аналогічне доведенню попередньої леми для просторів (.№), а зміни, які треба сюди внести, очевидні. Ці дві леми дають відповідно такі теореми про загальний вигляд обертань. І. Коли задано обертання у = U(x) простору (Z(p)), де 1 < р ф2 навколо 0, то існують такі дві функції <р ({) і ф (І), означені для 0 < < і < 1, що виконуються умови: (a) функція ф (t) перетворює взаємно однозначно майже цілий проміжок [0,1] в цей самий майже цілий проміжок так, що вимірні множини перетворюються у вимірні множини і навпаки; (b) маємо для майже всіх t ? [0, 1] ф (t) = lim ——*-', Р , U++o A J де через І (t,t + й) позначене зображення замкненого проміжку [t, t + Д), dtfwe функцією ф, тобто множину точок <р (s) (с) 2/ (0 = х [9 (0] • Ф (0, Для доведення цього див. доведення теореми 11, ст. 159. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)