Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
152 Розділ XL Ізометрія, еквівалентність, ізоморфія Навпаки, коли ер (і) є функція, що задовольняє умову (а), то існує функція ф (І), означена з допомогою умови (6), і операція y=U(x), означена з допомогою умови (с), є обертанням простору (Х(р)) пав- коло 0 г II. Коли задано довільне обертання y=U(x) простору (?(р)), де І<с>рф2, навколо 0, то існує така функція <р (п) і послідовність чисел {єп}, що (а) функція ф (п) перетворює цілу множину натуральних чисел взаємно однозначно в себе саму; (Ь) маємо = 1 для п = 1, 2, . . .; (с) для кошеної пари послідовностей х = {?п} Z(p)), де у ~ U(x), маємо: для п = 1, 2, .. . * 2/= І7)"} Навпаки, для довільних <? (п) і {єп}, ^о задовольняють умови [а) і (Ь)9 операція у = U(x)9 означена умовою (с), ? обертанням. Доведення. Нехай спочатку у = U (х) є обертання простору навколо 0. Покладемо: Для І = ДЛЯ Для * = 1, 2, . . . Для кожного х = {?n} ? (Z(p)) маємо очевидно: х (28) Покладаючи у і = (28) маємо рівність у = ^ ?>іУі9 звідки = {ч)п}, на основі 00 г\п Е іі у$ для п = 1, 2, . . . і (29) На основі (27) маємо леми 2, ст. 161, виходить ^} = 03 якщо г^Ь звідси, на підставі }(п • >іііУ> = 0 для г^? і п = 1, 2, . . . (ЗО) Тому що у може бути довільною послідовністю, яка міститься в просторі (1{Р))> то, згідно в (29) і (ЗО), для кожного натурального п існує тільки одне таке натуральне число ф(П), що 1 Для доведення цієї теореми диьись S. Banach, Sur les rotations dans les champs des fonctions integrables avec p-ieme puissance, Studia Mathematica IV, 1930, ст. 193. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)