Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 6. Ізоморфія та еквівалентність 153 Звідси на підставі (29) випливає, що маємо: ?п Для є« = 7$п) і w = 1, 2, . . ., (31) тобто виконується умова (с). З другого боку, з пхфпг випливає <р (пл) ф<р (п2), бо в противному разі на основі (31) для кожної послідовності {т)п} ? {№'}} ми мали б рівність ЄпЛщ — snj]nt = 0, що є неможливе; коли б існувало таке натуральне п0, що ф (п) =фп0 для всіх п = 1, 2, .. ., то на основі (31) ДЛЯ ПОСЛІДОВНОСТІ X = {^п}, ДЄ Іп==\о для п = п0 для ?г ^ п0, ми мали б рівність т}п = 0 для ті = 1, 2, ..., що є також неможливе. Так доведено умову (а). Нарешті, на основі означення обертання маємо: | у | = | х |; звідси на основі (31) одержуємо: І І ^() | І \ п=1 |р ' І еп \р = 11 ^і |р Для всіх а; = {?„} Є (Щ- (32) п1 Отже, якщо для довільно даного натурального п0 виберемо таку ПОСЛІДОВНІСТЬ X = {^п}, ЩО _ j 1 для п = 9г0 то з (32) одержимо: | єПо |р = 1, звідки J єПо j = 1, тобто умова (6) доведена. Обернене твердження очевидне. § 6. Ізоморфія та еквівалентність. Два простори Е і Ег типу (F) називаються ізоморфними, коли існує взаємно однозначна і лінійна операція, що перетворює Е в цілий нростір Ег. Нехай y=U(x), де х ? Е і у?Ег, є ця операція; на підставі теореми 5 (розд. III, § 3), ст. 34, обернена операція х — XJ-1 {у) є також лінійна, так що операція у — U(x) перетворює Е в Ех взаємно неперервно. Простори Е і Ег називаються еквівалентнилш, коли існує взаємно однозначна і лінійна операція у —U (х), яка перетворює Е в Ег так, що | у | = | х | для всіх х ? Е. Отже, з еквівалентності двох просторів випливає ізоморфія, але, як побачимо, не навпаки. Розглянемо два приклади. 1° Нехай (с0) — простір послідовностей дійсних чисел, збіжних до 0. Маємо теорему: Простори (с) і (с0) є ізоморфні. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)