Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
154 Розділ XL Ізометрія, еквівалентність, ізоморфія Справді, докладаючи для х = {&} ? (с), Y)! = 1ІШ & І Щ = &-1 — 7)х ДЛЯ І > 1, маємо очевидно Нт щ = 09 звідки, покладаючи у = {і}і}> маємо уЄ(с0) і не важко бачити, що так означена операція у = U (х) є адитивна і задож>льняе умову | U (х) | <; 21 х \; отже, вона лінійна. Навпаки, якщо у = {tjj} ? (с0), то досить для х = {%(} покласти 5і = •уіі+і + ^ Де і = 1, 2, ..., щоб на підставі Нт ?і == ї)1 одержати х G (с), а також переконатися, що а у = 0 ї->оо випливає ж = 0. Отже, операція у = U (x) лінійна і визначає взаємно однозначне перетворення простору (с) в (с?). 2° Простори лінійних функціоналів, означених в (ЇМ»), (№»), де -р > 1, (L), (/) » (с), є еквівалентні відповідно просторам (№), (ЇМ), 0в і + 1 = 1, (Ж), (т) і (І). Це в тільки інше формулювання теорем про загальний вигляд лінійних функціоналів, встановлених в розд. IV, § 4 (див. ст. 50—62). З теореми 2, ст. 142. випливає безпосередньо Теорема 4. Ізометричні простори Е і Ех типу (В) є одночасно еквівалентні. § 7. Добутки просторів типу (В), Нехай дано два простори Е і Ег типу (В). Позначимо через Е х Ег простір, утворений множиною всіх упорядкованих пар х, у, де х ? Е і у ? Ev коли в ньому означено додавання і множення на числа рівно стями х, У + #', У' = % + #', 2/ + У' і hx, у = (де ж' ? jE?, ?/' ? 2?1} a h довільне число) і дано означення норми так, щоб виконувалася умова: lim хп = xQ і Km уп = у0 еквівалентні такій рівності Km |і хп, Уп — xQ, у0 || = 0. (33) П->-00 Так означений простір Е х Ег є також типу (В). Ми будемо його називати добутком просторів Е і Ех. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)