Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 7. Добутки просторів типу (В) 155 Легко бачити, що умова (33) виконується, коли за норму пари = х,у прийняти зокрема один з двох виразів і) ІМІ = [ІМІР + ll 2) || г || = шах [|| х і що це не єдині відповідні норми, що задовольняють цю умову. Бачимо, що, приймаючи будь-які норми, згідні з умовами (33), завжди одержимо ізоморфні простори. Щоб було ясно, яку вибрано норму, позначатимемо добуток просторів Е і Ег у випадку норми 1) через (Е х Et)ip і в випадку 2) через (Е х Е^щ. Так само означається добуток скінченної кількості просторів Ех х Е2 х ... X Еп типу (В). Ясно, що добуток сепарабельних просторів є сепарабельним простором. Добуток Е х Е будемо називати квадратом простору Е і по- значувати через Е2. Теорема 5. Простори (?(р)), (?(р)), де р > 1, і(с) б ізоморфні з їх відповідними квадратами. Доведення. Досить кожній функції х (і) ? (L^) припорядкуватп пару функцій x1(t), x2{t), означених формулами x1{t) = x(jji x2(t) = x(j-\-j\ де 0<* < 1, щоб одержати взаємно однозначне і лінійне перетворення простору {ЬЩ в (?(р>)2. Так само досить кожній послідовності х = {?п} ? (#р)) припо- рядкувати пару послідовностей хг = {^п}, х2 = {?п}, означених формулами У]п — ^2п І ^п = %>2п-1, ДЄ W = 1, 2, . . ., щоб простір (Z(p)) перетворювався в (Z<p))2 взаємно однозначно і лінійно. Нарешті, припорядкуємо кожній послідовності х = {?п} Е (с) пару послідовностей хх = {v\n\, %% = {?п}, означених формулами Чп = Izn — її і ?n = ^2n+i — Um In -f- 5і, де те = 1, 2, . .. Одержуємо ^ = Km Кп, %2П = гіп + Ит ^п і %2п+і = Кп -f Ит Yjn, де те = 1, 2, ... П->-00 П> П->00 і видно, що де є взаємно однозначне і лінійне перетворення простору (с) в (с)2. Теорема 6. Простір (С) є ізоморфний з добутком (С) х (с)1. 1 Цю теорему знайшов К. В о г s u k. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)