Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
156 Розділ XI. Ізометрія, еквівалентність, ізоморфія Доведення. Повначнмо через Е підпростір простору (С), утворений функціями х (t) Є (С), які задовольняють умову х ( —} = 0 для п = 1, 2, ... W Побудуємо для кожної функції х (t) Є (С) таку функцію *(0Е(С)> що # (— ) = »( —) і яка була б лінійна в проміжках Г 1 11 - , — для всіх натуральних п. Припорядкуемо кожній функції х (t) ? (С) пару (утворену з однієї функції і з однієї послідовності чисел) у (і), {*(^)}> Де Маємо, очевидно, y(t)?E і Ixl—)[?(с). Легко бачити, що перетворення, встановлене цим припорядкуван- ням, є лінійне. Зауважуємо також, що для кожної пари y{t), {?п}?і?х(с) існує така неперервна функція х (t), що у (t) = х (t) — х (t) і Е,п = = хі—І для п = 1, 2, ..., так що розглядапе перетворення є взаємно однозначне і цілком вичерпує простори (С) і Е х (с). Отже, ці два простори є ізоморфні. Звідси випливає ізоморфія просторів (О) х (с) і Е х (с) х (с) = = Е х (с)2. Тому, зважаючи на те, що (с)2 є (на основі попередньої теореми 5) ізоморфний з (с), то простір (О) х (с) є ізоморфний зЕ х (с) і, тим самим, з (С), що й треба було довести. Теорема 7. Простір (С) є ізоморфний з кожним з просторів (О(р)), де р = 1, 2, .. Л Доведення. Припорядкуємо кожній функції # (0 (Е (С(р)) (див. Вступ, § 7, ст. 13, 7) пару, утворену з функції у (t) = аДО (?) і системи ?> чисел: х(0), х'(0), ..., ^-^(О). Позначаючи через і?р простір р вимірів, бачимо, що ((7(р)) є ізоморфний з (С) х Вр і внаслідок цього, зважаючи на попередню теорему 6, з (О) х X (с) х ВР. Отже, тому що простір (с) х Вр є ізоморфний з (с), то простір (О(р>) ізоморфний з (О) х (с) і тим самим (на основі теореми 6) з простором (О), що й треба було довести. Теорема 8. Простір (С) є ізоморфний з простором (О)2.2 1 Цю теорему довів К. В о r s u k. 2 Цю теорему подав К. В о r s n k. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)