Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 8. Простір (С) як універсальний простір 157 Доведення. їїриперядкуємо кожній парі x(t), у (t) функцій з (О) пару z(t), ?, де функцію z(t)?(C) визначено формулами: x(2t) для 0 < і < — 2і а ? визначається для кожної функції у (t) ? (С) за допомогою рівності \ = у (0). Таким чином простір (С)2 перетворюється в простір (С) х В1г де через Вг позначено простір всіх дійсних чисел. Це перетворення є лінійне, зважаючи на те, що за означенням x(t) = zl-^-\ і y[t) — z( \--п) — z (•о") + ^» В0Е0 е також взаємно однозначне. Отже, простори (С)2 і (С) х Вх є ізоморфні, а тому що на підставі теореми 6, ст. 155, простір (О) є ізоморфний з {С) х (с), простір (С)2 є ізоморфний з (С) х (с) х Bv то внаслідок ізоморфії (с) х В^ і (с) він є ізоморфний з простором (С) х (с) і тим самим (на основі теореми 6), з простором (С), що й треба було довести. Зауваження. Не знаємо, чи простір (С) є ізоморфний з простором всіх неперервних функцій, означених у квадраті. § 8. Простір (С) як універсальний простір1. Теорема 9. Кожний сепарабельнш% простір Е типу (В) є еквівалентний з замкненим лінійним підпроетором простору (С). Доведення. Нехай Г — множина всіх лінійних функціоналів з нормою < 1, означених в Е, а {хп} — послідовність елементів простору Е з нормою < 1 густа в сфері | х \ < 1. За віддаль двох функціоналів Д і /2, належних до Г, приймаємо —Man) | Zl \fx{xn) Покажемо, що при цьому означенні віддалі Г є повною і компактною множиною. Розглянемо послідовність {/,¦}, де fi?T для і = \, 2, ..., і нехай lim (/Р, fq) — 0. На підставі (34) існує границя lim ft (xn). Тому р->оо П>оо д->оо що |/і | < 1, то на основі теореми 3 (розд. V, § 1), ст. 68, послідов- 1 Теореми цього параграфа знайшли спільно С. Мазурія. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)