Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
другого боку, з послідовності О і} можна вибрати діагональетодом таку частинну послідовність {ДЛ, що існує Іішfik(xn) ' fc->00 158 Розділ XI. Ізометрія, еквівалентність, ізоморфія ність {/,• (х)} збігається для всіх х?Е; отже, послідовність функціоналів {/;} слабо збігається до функціонала /, і ми маємо: |/| < 1, звідки / ? Г, Тому що limfi(xn) =f(xn) для п = 1, 2, ..., то з (34) робимо висновок, що Піп (/*, /) = 0. Отже, Г є повною множиною. З ним методом для п = 1, 2, ..., звідки, як і раніше, існує такий функціонал / ? Г, що lim (fik, /) = 0. Тим самим Г є компактною мно- ЖИНОІО. Отже, існує неперервне1 перетворення досконалої і не густої множини Can tor'а Р(^[0, 1] в множину Г. Позначаючи через ft ? Г функціонал, припорядкований точці t ?P, розглянемо довільний елемент х Є Е і означимо у (t) так: для всякого І ?Р покладемо y(t)=ft(x), а для точок множини [0,1]—Р доповнимо функцію y(t) лінійно, покладаючи для t є [о, і] -Р Ь v де f і t" такі найближчі точки множини Р, що f < t < t". Дослідимо властивості так означеної функції y(t). Якщо lim tn = t0, де tn ?P, то послідовність {/<и} слабо збігаєть- ся до Д,, звідки ]imftn(x)=fto(x), отже, Km у (tn) = у(t0). Функ- П->0О П->00 ція у є тим самим неперервна вР. Тому що позаР вона, лінійна, то вона є тим самим неперервна в цілому проміжку [0, 1]; отже, у (t) ? (С). З другого боку, на підставі теореми 3 (розд. IV, § 2), ст. 46, існує такий лінійний функціонал /?Р, що \f(x)\ = Р ] / f О | () фу \\ о Є Р» 1] така т04™» що / = fta- Отже, маємо | у (t0) х\\. Нехай = Ц ж Ц і з рівності \y(t)\ = \ft(x)\ < |/f| -\х\ <\х\ для всіх t G Р виходить (тому що функція І у (t) І приймає свій максимум на множині Р), що max | у (t) | = || х \\. 0<t<l 1 Див., напр., F. Hausdorff, Mengerdehre (Berlin, 1927), ст. 197, рос. пер., ст. 175. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)