Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 9. Спряжені простори ^ 150 Отже, ми припорядкували кожному елементові х Є Е елемент у = y(t) Є (О) і, покладаючи у — U(x), бачимо, що ця операція є адитивна. Тому що || у \\ = \\ х \\, то вона є лінійна і перетворює ізометрично простір Е в підпростір Ег простору (О). Отже, простори Е і Ех С (С) е еквівалентні, що й треба було довести. Теорема 10. Кожний метричний сепарабельний простір можна перетворити ізометрично в підпростір простору (С). Доведення. На основі зауваження Erechet1 кожний метричний сепарабельний простір Е можна перетворити в підпростір простору (т). Таке перетворення одержимо, як легко перевірити, підпорядковуючи кожному х ? Е послідовність {?п}, означену формулою: In = (X, Хп) — (%0, %п) ДЛЯ П = 1, 2, . . ., де послідовність {#п} є густа в Е. Тому можна обмежитись випадком, де JS7 (^ (т). Легко довести, що простір, утворений всіма лінійними комбінаціями елементів з Е і його границями, є сепарабельним простором типу (В). На підставі теореми 9 існує ізометричне перетворення цього простору, а тим більше його підпростору Е в підпростір простору (G), що й треба було довести. Зауваження. Зважаючи на доведені теореми 9 і 10, простір (С) можна розглядати як універсальний простір для сепарабельних просторів типу (В) і відповідно для метричних просторів. Вивчення просторів типу (В) зводиться до вивчення лінійних замкнених підпросторів простору (О). § 9. Спряжені простори. Нехай дано простір Е типу (В). Простір Е всіх лінійних функціоналів, означених в Е, є, очевидно, також типу (В). Простір Е називатимемо спряженим з простором Е. Теорема 11. Якщо два простори Е і Ег типу (В) б ізоморфні, відповідно еквівалентні, то простори Е і Еге також ізоморфні, відповідно еквівалентні. Доведення. Справді, якщо лінійна операція у = U (х) перетворює Е в Ег взаємно однозначно і взаємно неперервно, то спряжена операція X = U (F) на основі теореми 5 (розд. X, § 1), ст. 128, перетворює простір Ег в цілий простір Е також взаємно однозначно і лінійно, звідки виходить ізоморфія останніх просторів. Якщо Е і Ег є еквівалентні, то для відповідних лінійних функціоналів X і Y маємо: X | = supX(z) = sup Y [U{x)] = sup Y{y) = \Y \x\<l \x\<l ||«l 1 Див. Fr^chet, Lee dimensions (Tun ensemble abstrait, Math. Anaalen 68 (1810), ст. 161. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)