Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
160 Розділ XI. Ізометріяу етівалвпгпніеть, ізоморфія так що простори Е і Ег в цьому випадку є еквівалентні, що й треба було довести. Зауваження. Але з еквівалентності просторів Е і Ех не завжди випливає еквівалентність просторів Е і Ev Розглянемо як приклад простори Е ~ (с) і Ег~ (с)^* Спряжені з ними простори Е = (Z) і Ех = (1)$, як легко девести, є еквівалентні. Але простори Е і Е± не еквівалентні. Простір Е можна розглядати як простір неперервних функцій, означених у множині Q, утвореній з чисел 0 і —, де п — 1, 2, .. ., а простір Ег — як простір неперервних функцій, означених у множині Qlt утвореній з чисел 0, 1, — і 1 -f , де п = 1, 2, ... Зважаючи на те, що розгляду- вані множини Q і Qx не є гомеоморфні, то, на основі теореми 3, ст. 145, виходить, що простори Е і Ех не є ізометричні, а тим більш еквівалентні. Теорема 12. Якщо спряжений простір Е є сепарабельний, то простір Е також сепарабельний. Доведення. Позначимо через Г?Е множину лінійних функціоналів, означених в Е, з нормою рівною 1. За умовою існує послідовність {Хп}, де Хп G Гг густа в Г. Нехай {хп} — послідовність елементів простору Е, що задовольняють умови І хп І = 1 і Хп (хп) > -я- Для п = 1, 2, ... (35) Припускаючи, що простір Е не є сепарабельний, можна твердити, що послідовність {хп} не є фундаментальна в Е; отже, на підставі теореми 7 (розд. IV, § 3), ст. 49, вона не є тотальна в Е. Значить, існує такий лінійний функціонал X ? Г, що | X | = 1 і X {хп) = 0 для п г= 1, 2, ... (36) Покладаючи Zn = Xn — X, на основі (35) і (36) маємо: Zn (xn) = = Хп(хп)— Х{хп) > y, звідки \Zn\>Y* ТСМУ \Хп— Х| для всіх натуральних п, що є неможливе, бо за умовою послідовність {Хп} є густа в Г9 а X міститься в Г. Теорема 13. Якщо задано тати сепарабельний простір Е типу (В), що кошена послідовність {#*} елементів з Е, з обмеженими в своїй сукупності нормами містить у собі частинну послідовність, слабо збішену до елемента з Е, то простір Е є еквівалентний просторові Е (спряженому з Е). 1 Значення показників у цих символах див. ст. 155. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)