Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 9. Спряжені простори 161 Доведення. Нехай G — множина таких лінійних функціоналів F{X), означених в Е, що F(X)=X(x0) для всіх Х?Е і для певного хо?Е, яке залежить тільки від F. Отже, маємо \F{X) | < < | X | • | х0|, звідки виходить нерівність \F\ < І х0 \. З другого боку, на підставі теореми 3 (розд. IV, § 2), ст. 46, існує такий функціонал Х0?Е, що | XQ і = 1 і Х0{х0) = \хо\ і тому F{X0) = \ х0 , звідки виходить нерівність |.F| > | а?0|. Обидві нерівності дають |jF =±= | хо\. G є тотальною множиною (в просторі Е лінійних функціоналів, означених в Е). Справді, якщо для певного Х0?Е при всякому F ?0 маємо F(X0) = 0, то для всякого х?Е також маємо Х0(х) = 0; отже, Хо = 0. Ми доведемо, що множина G є трапсфінітно замкнена. Нехай & — довільне гранично число, a {F^}, де Fs?G для 1 < ? < & — трансфінітна послідовність функціоналів, обмежених за нормою в своїй сукупності. Тоді існує таке число М > 0, що \Ft | < М для 1 < \ < 0- і за означенням множини G кожний функціонал #| має вигляд F$ (X) = X (х^). Через те що простір Е за умовою є сепарабельний, то існує послідовність {жі} — густа в Е. Позначимо через х^ для кожного натурального п довільно вибраний член послідовності {хі}, що задовольняє нерівність «Р - *» І < т <37> і покладемо If)(X) = X (4П)) для Х?Е. Коли & є конфінальне з о (тобто, коли існує послідовність { з натуральними і таких трансфінітних чисел, що lim ?і = в- і & < для і = 1, 2,...), то послідовність {а^"*} містить у собі частинну послідовність, слабо збіжну до елемента х^п)?Е. Маємо очевидно: ]imFf (X) > UmFff (X) = lim X ?0 f-*oo i і тому функціонал JP<n) (X) = X (ж(п)) є трансфінітною границею послідовності {F^}. Коли граничне число 8- не є конфінальне з to, то трансфінітна послідовність {^п)}, яка за означенням має тільки щонайбільше зчис- ленну кількість різних членів, містить у собі такий член #<п>, що для кожного у]<& існує таке ? >'т), що маємо рівність #<п) = а;(п)- Тоді маємо = UmX(4n))>X 11 C. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)