Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
162 Розділ XI. Ізометрія, еквівалентність, ізоморфія так що функціонал F(n) (X) — X (я<п>) є трансфінітною границею послідовності {F^}. Тепер розглянемо послідовність {х(п>}. З неї можна вибрати послідовність, слабо збіпну до певного елемента х ? Е. Покладемо X (х) = =F0(X). З одного боку, маємо для всіх X Є Ж (38) а з другого, на основі означення множини G, Fo ? G. Отже, на підставі (37) маємо X (а?|) > X (а^п)) | X |, звідки на основі озна- чення функціоналів F$ і (X) = limX fa) > limX (4n)) — X I > JW (X) —— IX i? тим самим, на основі (38) limi^(X) > lim.F<n>(X) >jP0(X). Отже, функціонал Fo є трансфінітною границею послідовності {F^}, а на основі Fo G ^, множина G^ є справді трансфінітно замкнена. Множина О, як тотальна і трансфінітно замкнена, на основі зауваження (розд. VIII, § 2), ст. 102, і леми 3 (розд. VIII, § 3), ст. 106, ідентична з простором Е. Отже, на основі означення множини О кожномуі^?і? припорядко- вано такий елемент #?і?, що, як доведено на початку, |F | = |\х |. Значить, операція U (х) = F в взаємно однозначна, лінійна' і перетворює без зміни норми простір Е в Е. Отже, простори Е і Е є еквівалентні, що й треба було довести. Зауваження. Наприклад, простори (Х(р)) і (І(р)), де р > 1, є еквівалентні з просторами, які в свою чергу є спряжені з просторами лінійних функціоналів, означених в (Z(p)) і (Z(p)) (див. ст. 154, 2°). Теорема 14. Простір, спряжений з добутком просторів типу (В), в ізоморфний з добутком спряжених з ними про- сторів. Доведення. Нехай Ег, Е2, ..., Еп — простори типу (В). Треба встановити ізоморфію між простором Е9 де Е = ЕгхЕ2 х ... хЕп і простором Е1хЕ2х... хЕп. Можна обмежитися випадком п = 2. Позначимо, відповідно, через xv x2 і % елементи просторів ЕІ9 Е2 і Е, а через ХІ9 Х2 і Z лінійні функціонали, означені в цих просторах. Нехай Н — множина всіх пар хг, 0, де хг ? Ег. Отже, Н можемо розглядати як підмножину простору Е — Е± х Е2 і тому кожний |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)