Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Лінійна розмірність просторів (с) і (Up)) 165 або < dim j (ДО) для р > 1, (4) то Е є простором із скінченним числом вимірів. Доведення. Тому що простір (с) є ізоморфний з простором (с0) послідовностей чисел, збіжних до 0 (диб. розд. XI, § .6, ст. 153, 1°), то на піставі (3) існує лінійна і замкнена множина G d (c0), ізоморфна з Е. Коли б і.:и припустили, що Е, а тим самим також і G, має нескінченне число вимірів, то для кожного натурального N існувала б така послідовність N +1 елементів zi ? G, де і = ЛЧ-1 = 1, 2, . . ., N -\-1, що з 2 cuiZi = 0 випливало б ах = а2 = ... = = 0. Отже, коли покласти zi = {$п}, то знайдуться числа ац, де і = 1, 2, . . ., JV 4 1, які (не всі рівні 0) задовольняють рівняння N+1 ^n = 0 для п = 1, 2, . . ., N. Позначаючи через {(Зп} послі- ~ N+1 довність z = 2 v-i%u одержуємо fl I z I > 0 і pn = 0 для n = 1, 2, ..., N. (5) Так ми довели, що для кожного натурального JV існує елемент z = {pn} ? G, який має властивості (5). Означимо тепер за допомогою індукції послідовність елементів множини G, де у і — {гіп}, вибираючи за уг такий довільний елемент множини G, що \у1\ — 1, а, за уі, де і = 2, 3, ..., такий елемент з G, щоб: | уі І = і і пі = 0 для » = 1, 2, ..., 2V/_i, (6) де число JVf_i є найменше з тих чисел, що задовольняють нерівність hi"1! <з*гї для всіх п > Ni~1' (7) Існування такої послідовності {уі} випливає безпосередньо з доведеного твердження. Нехай GQ — множина, що складається із всіх поліномів вигляду г і, де г = 1, 2, ..., і їх границь Go є, очевидно, лінійною і зам- кненою множиною. Тепер розглянемо довільну обмежену послідовність х = |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)