Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Лінійна розмірність просторів (с) і (Кр)) 167 2 Значить, існує таке Тс, що | ?& | >' — || х ||, і тому, на основі (10), о "^т* І' = 1- Отже, зважаючи на те, що співвідношення (15) виконується для довільного даного індекса п, для п = ти одержуємо ? 1 1 1 I ^n I > І II Х II — "о II Х II = ft" II Х II' 3ВІДКИ SUp | 7)п І > ¦? || X ||. " ^ « 1<п<оо " Зіставляючи цю нерівність з нерівністю (14), одержуємо нерівність (9). Припорядкуймо тепер кожному х = {^} послідовністг» у = {^п}, означену нерівністю (8). З уваги на (9), послідовність у є обмежена і, покладаючи у — U(x), маємо У (х) І < тг І х І» (^) тобто операція U (х) є лінійна. З другого боку, для хі = {^}, де _ f ~ [ 1 для і — п 0 для і за означенням маємо у і = ?7 (#*-) для і = 1, 2, ... Отже, для (с0) маємо о; = 2%>txu звідки, зважаючи на неперервність ?=1 ОО операції U (х), у —U (х) = ^\іТ] (хі) — ^^tyt. Тому що останній і=і і=і ряд є збіжний, виходить у ? 00. Навпаки, нехай у ? Go. На основі означення множини Go Гп Тп маємо у = Km sn> де sn = 2 tfyt і тим самим для tn = 1 маємо: In G (со) і ^ (tn) = Sn* Співвідношення (16) дає — 11p — — tq | < | U (tp — tq) I — | 8р — 8q\; ТОДІ 3 рІВНОСії Иїїі \ 8р — 8q\ =0 випливає lim | tp — tq\ =0. Отлсе, послідовність {tn} збігається. По- кладаючи ж = Km tR, маємо о: ^ (с0) і U (х) = у, так що опе- n-Voo рація U (х) є взаємно однозначна і перетворює (с0) в цілий простір Go. Отже, простори (с0) і в0 — ізоморфні, і тому що GQ (2 О, то виходить, що dimz (с0) < dimiG. Звідси, зважаючи на ізоморфізм |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)