Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
168 Розділ XII. Лінійна розмірність між G і Е і між (с0) і (с), випливає, що dimi (c) < dimi Е, що суперечить умові (3). Тим самим число вимірів простору Е є скінченне, що й треба було довести, Для (#р>), де р > 1, доведення аналогічне. § 3. Лінійна розмірність просторів (LM) і (№), де jp > 1 \ Теорема 2. Кожна слабо збіжна до 0 послідовність функцій {хі («)}, { належать до (?(р)), містить у собі таку частинну послідовність {%ik{t)}> Що маємо: п О(пр) для 1 <р <2 (17) 2. Доведення. Спиратимемося на таку нерівність для р > 1: (Р) ~16 * sign а-М|6|Р+Б2'|а|Р-/|&|/,2 (18) де а і Ь довільні дійсні числа, А і В — сталі, залежні тільки від р, а через Е (р) позначено цілу частину р. Отже, якщо р < 2, то останнього доданка немає. Означимо за допомогою індукції послідовність {#&}, покладаючи ^ = 1 і позначуючи через іп, де п > 1, довільне натуральне число, що задовольняє нерівність /| *п-і ( ""1 • si sign sn_i 4, (t) dt I < 1, (19) n-l де sn_i (?) = 2xh (t)- Таке гп існує, бо за умовою послідовність fc=i \ і (хі (<)} слабо збігається до 0 і І 5„_і (t) I**-1 G №(9))> Де —І— = 1. f p q Отже, нерівність (18) для а = 5„_і (t) і Ь = а^ (2) після інтегрування дає /|«n|p<ft</|*n-l / І 8П-\ І""1 • Sign ,9n_i Xin dt + Af\ xin \Pdt+ В? (20) 1 Теореми цього параграфа знайдено мною сумісно з С. Мазуром. 2 Щодо доведення цієї нерівності див. S. Banach et S. Saks, Sur la convergence forte dans les champs Lp. Studia Mathematika II (1930), ст. 52. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)