Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Лінійна розмірність просторів (L(p)) і (Up)) 169 Із слабої збіжності послідовності {хп {?)}, на підставі теореми 1 (розд. IX, § 1), ст. 115, випливає, що послідовність чисел {II Хп\\} е обмежена і можна припустити без обмеження загальності, що \\xa\\ <1 для тг = 1, 2, .... (21) Для випадку р > 2 на основі (21) і на підставі нерівності Kiesz'a (див. Вступ, § 2, ст. 6) для 2 </ < р маємо: хіп р-і р-2 Г / | «п_і „_! \Pdt Lo звідки, на основі (19) і (20) ||*п ||р < ||вп-і ||р + 1 +^ +Вр (1 + + Н «п-і ||р~8)» ЩО 8а допомогою інтерації дає формулу \\sn\\P <С -n +Dn2\\sk\\P-\ (22) fc=i де О = 1 +А + Вр і D = Вр. Нехай, М = G + D + 2. Покажемо за допомогою індукції, що ^_ II sn || < Ж • п* для га = 1, 2, ... (23) Справді, за означенням $п і з уваги на (21) маємо || 8г \\ < 1. Припускаючи, що нерівність (23) є справедлива для індексів, менших від п-1 PZ? даного певного п, на підставі (22) маємо: || sn ||p <D -Mp~2 ]?h 2 + p. p. 1-Е 2n2 -\- G ' n -^ M.P n2 (I) • M~2 -\-n 2 G • J/—p). Звідси випливає нерівність (23), бо, як легко перевірити, сума в дужках є < 1 для р > 2. Таким чином на основі (23) доведено рівність ||sn|j = 0^2 для р > 2. Розглянемо випадок, де 1 < 2? < 2. За означенням sn з (20) і і і (21) одержуємо: f\ sn |р dt < f\ $n-i |р Л + 1 + А + В, звідки о о ||«п||р< ||*п-і||р + С', де 0 = 1 +А +В і тому ||«п||р<'||51||р + 4- G (п—1) < G - п. Отже, покладаючи Мр = G, одержуємо 11 *п 11 < М • п р так, що в розглядуваному випадку рівність || sn \\ = О \пр) є справедлива, що й треба було довести. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)