Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
170 Розділ ХГ1. Лінійна розмірність Зауваження. Попередня теорема перестає бути справедливою для довільного р > 1, якщо в співвідношенні (17) знак О замінити на о. Справді, для р > 2 покладемо xt (t) = sin 2nit. Тому що для * і кожної інтегровної функції к(і) маємо lim fa(t) тп2тсііШ'=0, то послідовність {хі (*)} в просторі (№>) слабо збігається в про- п мічску [0,1]. Докладаючи sn (t) = 2 %tk (0> Де через {хіь Щ позначено довільну частинну послідовність, маємо || sn {t) \\ = = Ііі І sn {t) \Pdt> ]//4 (t) dt = ' о "o О не можна замінити знаком о. Для 1 < р < 2, покладаючи ¦п-'Я% з чого виходить, що знак 1 для 27 О для 0 < t < -у- і 2fZi < t < маємо для кожної частинної послідовності {#&(?)} рівність р _ ^ — г %» 8 чого виходить неможливість заміни = U\Sn{t ' о О знаком о також і в цьому останньому випадку. Теорема 3. Кожна послідовність {хї^ елементів простору (), де р > 1, слабо збіжна до 0, містить у собі таку частинну послідовність {х^, що п О\пр). (24) Доведення. Нехай хі = випливає (див. ст. 118), }. Із слабої збіжності {#*} до 0 lim ?j = 0 для г = 1, 2, ... (25) < М для і = 1, 2, ... (26) Рекурентне означення послідовності {#,*} є таке: х^ = xlf a xtH для п > 1 є довільний член послідовності {жі}, який задовольняє |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)